Question

一元二次方程x²+2x+k-1=0的实数解是x₁和x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）如果y=

x

2 1

+

x

2 2

-x₁x₂，求y的最小值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系,一次函数的性质

专题：计算题

分析：（1）根据判别式的意义得到△=2²-4（k-1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-2，x₁x₂=k-1，则y=（x₁+x₂）²-3x₁x₂=4-3（k-1）=-3k+7，然后利用一次函数的性质求解．

解答：解：（1）根据题意得△=2²-4（k-1）≥0，
解得k≤2；

（2）根据题意得x₁+x₂=-2，x₁x₂=k-1，
y=（x₁+x₂）²-3x₁x₂=4-3（k-1）=-3k+7，
因为k≤2，
而y随k增大而减小，
所以当k=2时，y最小值=-3×2+7=1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系以及一次函数的性质．