Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（0，8），点B（6，8）．
（1）求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件（尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法）；
①点P到A、B两点的距离相等；
②点P到∠xOy的两边的距离相等．
（2）求出点P的坐标；
（3）判断以点A为圆心、AB的长为半径的圆与直线OP的位置关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）如图所示：

（2）过P作PM⊥AO，
∵OP平分∠xOy，
∴PM=PN，
∵AB=6，PN垂直平分AB，
∴PM=AB=3，
∴P（3，3）；

（3）相离，
理由：过点A作AQ⊥OP于点Q，
∵点A（0，8），点B（6，8），
∴AB=6，
∵P（3，3），
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴OQ=AQ=sin45°AO=×8=4，
∵AB＞AQ，
∴以点A为圆心、AB的长为半径的圆与直线OP的位置关系是相离．
分析：（1）作出AB的垂直平分线和∠xOy的角平分线，两线交点就是P点；
（2）过P作PM⊥AO，根据线段垂直平分线的性质可得PM=3，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PN=3，进而得到P点坐标；
（3）首先求出AB的长，再利用A到OB的距离得出直线与圆的位置关系即可．
点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系判定以及角平分线以及线段垂直平分线的作法等知识，根据已知得出AQ的长是解题关键．