Question

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．

（1）发现：当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积关系是：______．
（2）引申：当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图2），△ABE与△ADG的面积关系是：______．并证明你的结论．
（3）运用：已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形（如图3），则图中阴影部分的面积和的最大值是______cm²．

Answer 1

解：（1）相等；

（2）相等，
证明：如图，延长BA到点P，过点E作EP⊥BP于点P；
延长AD到点Q，过点G作GQ⊥AQ于点Q．
∴∠P=∠Q=90°
∵四边形AGFE，ABCD均为正方形
∴AE=AG，AB=AD，∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
∴△APE≌△AQG（AAS）
∴EP=GQ
又∵S_△ABE=AB•EP
S_△AGD=AD•GQ
∴S_△ABE=S_△AGD

（3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，
若图中阴影部分的面积和的最大值，则三角形ABC的面积最大，
∴△ABC是直角三角形，∠B是直角，
∴S_{阴影部分面积和}=3S_△ABC=3×3×5÷2=22.5cm²，
故答案为：相等；相等；22.5．
分析：（1）由于当E点旋转到DA的延长线上时，根据图形和三角形的面积公式容易得到△ABE与△ADG的面积关系；
（2）相等．如图延长BA到点P，过点E作EP⊥BP于点P；延长AD到点Q，过点G作GQ⊥AQ于点Q，由此得到∠P=∠Q=90°，而四边形AGFE，ABCD均为正方形，根据正方形的性质可以得到AE=AG，AB=AD，∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，这样得到∠1=∠3，然后就可以证明△APE≌△AQG，接着得到EP=GQ，然后利用三角形的面积公式即可证明题目的问题；
（3）根据（2）的几个可以得到三个阴影部分的面积都和三角形ABC的面积相等，而AB=5cm，BC=3cm，若图中阴影部分的面积和的最大值，则三角形ABC的面积最大，则其是直角三角形即可求解．
点评：此题分别考查了旋转的性质、正方形的性质及全等三角形的判定与性质，有一定的综合性，要求学生熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题．