Question

9．如图，向正五边形ABCDE区域内均匀掷点，落在五边形FGHJK区域内的概率为$\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 先判断出五边形HGFKJ是正五边形，进而得出正五边形HGFKJ∽正五边形ACBDE，再用△HAB∽△ABE得出两个五边形的边长的关系即可．

解答 解：正五边形ABCDE，
∴∠BAE=∠ABC=BCD=∠CDE∠AED=108°，AB=BC=CD=DE=AE，
∴△ABC≌△ABE，
∴AC=BE，同理：△ABH≌△△BCG≌△AJE，
∴AH=CG=JE，
∴HJ=HG，
同理：FG=FK=JK=HG，
∴五边形HGFKJ是正五边形，
∴正五边形HGFKJ∽正五边形ACBDE，
设HE=CD=a，HJ=x，
由题意，△HAB∽△ABE，
∴$\frac{a-x}{x}=\frac{a}{2a-x}$，
∴x=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}x$
∴落在五边形FGHJK区域内的概率为 $\frac{{S}_{HGFKJ}}{{S}_{ABCDE}}=（\frac{3-\sqrt{5}}{2}）^{2}$=$\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$，
故答案为$\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$．

点评 此题考查了几何概率的求法，利用面积比计算出几何概率，即相似三角形的判定和性质，根据题意找出五边形的面积比是解本题的关键．