Question

如图，AB是O的直径，AE交O于点E，且与O的切线CD互相垂直，垂足
为D。

（1）求证：∠EAC＝∠CAB；
（2）若CD＝4，AD＝8：
①求O的半径；
②求tan∠BAE的值。

Answer 1

（1）证明见解析（2）①5，②

（1）证明：连接OC。 

∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC。
又∵CD⊥AE，∴OC∥AE。∴∠1＝∠3。
∵OC＝OA，∴∠2＝∠3。
∴∠1＝∠2，即∠EAC＝∠CAB。
（2）解：①连接BC。

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AE于点D，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°。
∵∠1＝∠2，∴△ACD∽△ABC。∴。
∵AC²＝AD²＋CD²＝4²＋8²＝80，
∴AB＝＝10。
∴⊙O的半径为10÷2＝5。
②连接CF与BF。

∵四边形ABCF是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC＋∠AFC＝180°。
∵∠DFC＋∠AFC＝180°，∴∠DFC＝∠ABC。
∵∠2＋∠ABC＝90°， ∠DFC＋∠DCF＝90°，
∴∠2＝∠DCF。
∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DCF。
∵∠CDF＝∠CDF，∴△DCF∽△DAC。∴。∴DF＝＝2。
∴AF＝AD－DF＝8－2＝6。
∵AB是⊙O的直径，∴∠BFA＝90°。
∴BF＝＝8。∴tan∠BAD＝。    
（1）连接OC，由CD是⊙O的切线，CD⊥OC，又由CD⊥AE，即可判定OC∥AE，根据平行线的性质与等腰三角形的性质，即可证得∠EAC=∠CAB。
（2）①连接BC，易证得△ACD∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AB的长，
从而可得⊙O的半径长。
②连接CF与BF．由四边形ABCF是⊙O的内接四边形，易证得△DCF∽△DAC，然后根据
相似三角形的对应边成比例，求得AF的长，又由AB是⊙O的直径，即可得∠BFA是直角，利用勾股定理求得BF的长，即可求得tan∠BAE的值。