Question

【题目】问题情境

在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形ABCD，直线PQ经过点A，并绕点A旋转，作点B关于直线PQ的对称点E，直线DE交直线PQ于点F，连结AE，BE．

操作发现

（1）如图1，设∠PAB=25°则∠ADF=　 　°．

（2）“梦想小组”的同学们发现，∠BEF的度数是一个定值，这个值为　 　．

（3）“创新小组”的同学们发现，线段AB、DF、EF之间存在特殊的数量关系，请写出这一关系式，并说明理由：

拓展应用

（4）如图2，当直线PQ在正方形ABCD的外部时，“进取小组”的同学们发现（3）的结论仍然成立，并提出新问题；若DF=3，EF=4，直接写出正方形ABCD的边长．

Answer 1

【答案】（1）70°；（2）45°；（3）EF2+DF2=2AB2，详见解析；（4）5

【解析】

（1）利用折叠得出∠BAP=∠EAP=25°，进而求出∠BAE=50°，即可得出结论；

（2）设∠BAP=α，先求出∠AED=45°+α，再求出∠AEB，即可得出结论；

（3）利用（2）判断出∠BFE=90°，即△BDF是直角三角形，利用勾股定理即可得出结论；

（4）先判断出∠AED=∠ABF，再判断出∠AED=∠ADE，即可得出∠BFD=90°，即可得出结论．

解：（1）∵∠PAB=25°，

由折叠知，∠PAB=∠EAP=25°，

∴∠BAE=50°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，

∴∠DAE=40°，

∴∠ADF=（180°﹣40°）=70°

（2）设∠BAP=α，

由折叠知，AE=AD，∠EAF=∠BAF=α，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴AD=AE，∠DAE=90°﹣∠BAE=90°﹣2α，

∴∠AED=（180°﹣∠DAE）=90°﹣∠DAE=90°﹣（90°﹣2α）=45°+α，

由折叠知，BE⊥AP，

∴∠AEB+∠EAF=90°，

∴∠AEB=90°﹣∠EAF=90°﹣α，

∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED=180°﹣（90°﹣α）﹣（45°+α）=45°，

故答案为：45°；

（3）EF2+DF2=2AB2；

理由：如图1，连接BF，

由折叠知，BF=EF，∠BEF=∠EBF，

由（2）知，∠BEF=45°，

∴∠BFE=90°，

连接BD，

∴△BDF是直角三角形，

∴BD2=BF2+DF2=EF2+DF2，

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴BD2=2AB2，

∴EF2+DF2=2AB2；

（4）如图2，连接BD，BF，

由折叠知，∠BEF=∠EBF，∠AEB=∠ABE，

∴∠AED=∠ABF，

由折叠知，EF=BF，AE=AB，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，AB=AD，

∴AE=AD，

∴∠AED=∠ADE，

∴∠ABF=∠ADE，

∵∠AOB=∠FOD，

∴∠BFD=∠BAD=90°

∴△BDF是直角三角形，

∴BD2=BF2+DF2=EF2+DF2，

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴BD2=2AB2，

∴EF2+DF2=2AB2，

∵DF=，EF=，

∴2AB2=32+18=50，

∴AB=5

即：正方形ABCD的边长为5．