Question

7．如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，DE是正三角形ABC的中位线．动点M，N分别从D、E出发，沿着射线DE与射线EB方向移动相同的路程，连结AM，DN交于P点．则下列结论：①ac=-3；②AM=DN；③无论M，N处何位置，∠APN的大小始终不变． 其中正确的是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 首先证明b=0，再根据OC=$\sqrt{3}$OB列出等式即可证明①正确，由△ADM≌△DEN，AM=DN，∠M=∠N，再根据“8字型”证明∠NPK=∠MEK即可解决问题．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，OC⊥AB，
∴AO=OB，∠ACO=∠BCO=30°，
∴OC是抛物线对称轴，
∴b=0，
∴抛物线解析式为y=ax²+c，
∴点B坐标（$\sqrt{-\frac{c}{a}}$，0），
∵tan∠BCO=$\frac{OB}{CO}$=$\sqrt{3}$，
∴c=$\sqrt{3}$$•\sqrt{\frac{-c}{a}}$，
∴c²=$\frac{-3c}{a}$，
∵c≠0，
∴ac=-$\sqrt{3}$，故①正确．
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC=AD，DE∥AB，
∴∠CDE=∠CAB=60°，∠CED=∠CBA=60°，
∴∠ADM=∠DEN=120°，
在△ADM和△DEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}\\{∠ADM=∠DEN}\\{DM=EN}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△DEN，
∴AM=DN，∠M=∠N，故②正确．
设AM交EN于K，∵∠EKM=∠PKN，∴∠MEK+∠EKM+∠M=180°，∠KPN+∠PKN+∠N=180°，
∴∠MEK=∠NPK，
∵∠MEK=∠CED=60°，
∴∠NPK=60°，
∴∠APN=180°-∠NPK=120°，
∴∠APN的大小不变，故③正确．
故选D．

点评 本题考查二次函数综合题、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、直角三角形中30度角性质等知识，解题的关键是（1）证明OC=$\sqrt{3}$OB，（2）证明△ADM≌△DEN，属于中考常考题型．