Question

2．如图，抛物线y=（x+m）²+m，与直线y=-x相交于E，C两点（点E在点C的左边），抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．△ABC的外接圆⊙H与直线y=-x相交于点D．
（1）若抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），求m的值；
（2）求证：⊙H与直线y=1相切；
（3）若DE=2EC，求⊙H的半径．

Answer 1

分析 （1）由抛物线y=（x+m）²+m与y轴的交点坐标为（0，2），可得m²+m=2，又由抛物线与x轴有两个交点，即可得（x+m）²+m=0有两个不相等的实数根，继而求得答案；
（2）首先作直径CM交弦AB于点G，连接HB，由抛物线y=（x+m）²+m，与直线y=-x相交于E，C两点（点E在点C的左边），可得（x+m）²+m=-x，继而可证得点C是抛物线的顶点，由抛物线与圆的对称性得：CM垂直平分AB，可证得CM⊥直线y=1，然后设A，B两点的横坐标分别为x₁，x₂，则x₁，x₂是（x+m）²+m=x²+2mx+m²+m=0的两根，可得x₁+x₂=-2m，x₁•x₂=m²+m，再设⊙H的半径为r，CG=-m，HG=-m-r，易证得点H到直线y=1的距离为：-m-r+1=2r-r=r，即可得⊙H与直线y=1相切；
（3）首先连接MD，由⊙H与直线y=1相切于点M，可得△CMN是等腰直角三角形，CM为直径，易得DN=DC，则可求得EC的长，继而求得答案．

解答 （1）解：∵抛物线y=（x+m）²+m与y轴的交点坐标为（0，2），
∴当x=0时，y=m²+m=2，
解得：m₁=-2，m₂=1；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴（x+m）²+m=0有两个不相等的实数根，
∴m＜0，
∴m=-2；

（2）证明：作直径CM交弦AB于点G，连接HB，
∵抛物线y=（x+m）²+m，与直线y=-x相交于E，C两点（点E在点C的左边），
∴（x+m）²+m=-x，
∴（x+m）（x+m+1）=0，
解得：x₁=-m，x₂=-m-1，
∴点E（-m-1，m+1），C（-m，m）；
∴点C是抛物线的顶点，
由抛物线与圆的对称性得：CM垂直平分AB，
∴CM⊥直线y=1，
设A，B两点的横坐标分别为x₁，x₂，则x₁，x₂是（x+m）²+m=x²+2mx+m²+m=0的两根，
∴x₁+x₂=-2m，x₁•x₂=m²+m，
∴AB=x₂-x₁=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{-m}$，
设⊙H的半径为r，CG=-m，HG=-m-r，
在Rt△HGB中，HG=-m-r，HB=r，GB=$\sqrt{-m}$，
∴（-m-r）²+（$\sqrt{-m}$）²=r²，
解得：r=$\frac{1-m}{2}$，
∵HG=-m-r，
∴点H到直线y=1的距离为：-m-r+1=2r-r=r，
∴⊙H与直线y=1相切；

（3）连接MD，
∵⊙H与直线y=1相切于点M，
∴△CMN是等腰直角三角形，
∵CM为直径，
∴∠CDM=90°，
∴DN=DC，
∵点E（-m-1，m+1），C（-m，m），
∴EC=$\sqrt{2}$，
∵DE=2EC，
∴CD=3EC=3$\sqrt{2}$，
∴CN=2CD=6$\sqrt{2}$，
∴CM=2r=6，
∴r=3．

点评 此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、圆周角定理、切线的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题综合性很强，能准确作出辅助线，并能利用方程思想求解是关键．