Question

对满足t²+s²=1的一切实数t，s，不等式（m+2）t+2（2s²-1）＞t（2s²-1）+t²+2m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：首先由t²+S²=1，可得t²=1-s²与-1≤t≤1，然后将不等式（m+2）t+2（2s²-1）＞t（2s²-1）+t²+2m整理化简可得：m＜-2t²+t+1，利用二次函数的知识，即可求得-2t²+t+1的最小值，则问题得解．

解答：解：∵t²+S²=1，
∴t²=1-s²，
∵t²≤1，
∴-1≤t≤1，
∵（m+2）t+2（2s²-1）＞t（2s²-1）+t²+2m，
∴mt+2t+2（2S²-1）＞t（2S²-1）+t²+2m，
∴mt-2m＞（t-2）（2s²-1）+t²-2t，
∴m（t-2）＞（t-2）（2s²-1）+t（t-2），
∵-1≤t≤1，
∴t-2＜0，
∴m＜2s²-1+t，
∵s²=1-t²，
∴m＜2-2t²+t-1，
即：m＜-2t²+t+1，
由二次函数得：当t=

1

4

时，-2t²+t+1最大值为

9

8

，
当t=1时，-2t²+t+1=0，
当t=-1时，-2t²+t+1=-2，
∴-2t²+t+1的最小值为-2，
∴m＜-2．
∴实数m的取值范围为：m＜-2．

点评：此题考查了等式与不等式的综合应用，以及二次函数最值问题．此题难度较大，注意因式分解方法的应用与分类讨论思想的应用．