Question

【题目】如图，直线、是紧靠某湖泊的两条相互垂直的公路，曲线段是该湖泊环湖观光大道的一部分．现准备修建一条直线型公路，用以连接两条公路和环湖观光大道，且直线与曲线段有且仅有一个公共点．已知点到、的距离分别为和，点到的距离为，点到的距离为．若分别以、为轴、轴建立平面直角坐标系，则曲线段对应的函数解析式为．

（1）求的值，并指出函数的自变量的取值范围；

（2）求直线的解析式，并求出公路的长度(结果保留根号)．

Answer 1

【答案】（1），自变量的取值范围为；（2），公路的长度为．

【解析】

（1）先确定点C的坐标为（1，8），将其代入即可求出k=8，进而确定自变量的取值范围；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将点P（2，4）代入得4=2k+b，即b=4-2k，则直线AB的解析式为y=kx+4-2k，根据直线AB与曲线段CD有且仅有一个公共点P，求出k=-2，那么直线AB的解析式为y=-2x+8，再分别求出A、B的坐标，进而得到AB的长度．

解：（1）由题意得：点的坐标为，将其代入得：，

曲线段的函数解析式为，

点的坐标为

∴自变量的取值范围为；

（2）设直线的解析式为，

由（1）易求得点的坐标为，

，即，

直线的解析式为，

联立，得，

，

由题意得：，解得，

直线的解析式为，当时，；当时，，

即、的坐标分别为，，

．

公路的长度为．