Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，AB+CD=AD，求证：
（1）AE、DE分别平分角∠A和∠D；
（2）∠DEA=90°．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：几何图形问题,证明题

分析：（1）作DE的延长线交AB的延长线于点M，根据题意可证，△DCE≌△MBE，又AB+CD=BC，且E是DM的中点，可证△ADM为等腰三角形，即得得出答案．
（2）根据等腰三角形的性质得出即可．

解答：证明：（1）如图所示，延长DE交AB的延长线于点M，
∵AB∥CD，
∴∠CDE=∠M，（两直线平行，内错角相等）．
在△DCE和△MBE中，

∠CDE=∠M ∠CED=∠BEM CE=BE

∴△DCE≌△MBE（AAS）．
∴BM=CD，DE=ME（全等三角形的对应边相等）．
∵AB+CD=AD，
∴DE+DC=AD，即AM=AD，
又∵DE=ME，
∴∠DAE=∠MAE，
即AE平分∠DAB，
同理DE平分∠CDA；

（2）∵AD=AM，DE=EM，
∴AE⊥DM，
∴∠DEA=90°．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，本题考查了判定三角形全等的定理以及线段常量的灵活计算，等腰三角形的中线，底边上的高和垂线互相重合．