Question

如图， AE是⊙O直径，D是⊙O上一点，连结AD并延长使AD=DC，连结CE交⊙O于点B，连结AB.过点E的直线与AC的延长线交于点F，且∠F=∠CED.
（1）求证:EF是⊙O切线；
（2）若CD=CF=2，求BE的长.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

试题分析：（1）根据圆周角定理由AE是⊙O直径得到∠ADE=90°，而AD=DC，根据等腰三角形的判定方法得到EA=EC，则∠AED=∠CED，由于∠F=∠CED，所以∠AED=∠F，易得∠F+∠EAD=90°，即∠AEF=90°，然后根据切线的判定定理即可得到EF是⊙O切线；
（2）根据相似三角形的判定方法得到△ADE∽△AEF，利用相似比可计算出AE=，则CE=AE=，在Rt△ADE中，利用勾股定理计算出DE=，再由AE是⊙O直径得到∠ABE=90°，则根据面积法得到CE•AB=
DE•AC，则可计算出AB=，，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理计算BE．
试题解析：（1）证明：∵AE是⊙O直径，∴∠ADE=90°.∴ED⊥AC.
∵AD=DC，∴EA=EC．∴∠AED=∠CED，
∵∠F=∠CED，∴∠AED=∠F.
而∠AED+∠EAD=90°，∴∠F+∠EAD=90°.∴∠AEF=90°.∴AE⊥EF.
∴EF是⊙O切线.
（2）∵CD=CF=2，∴AD=CD=CF=2.
∵∠ADE=∠AEF，∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF.
∴AE：AF=AD：AE，即AE：6=2：AE．∴AE=.∴CE=AE=.
在Rt△ADE中，.
∵AE是⊙O直径，∴∠ABE=90°.
∴CE•AB=DE•AC，∴AB=.
在Rt△ABE中，．