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    12．关于x的二次函数y=2sinαx2-（4sinα+$\frac{1}{2}$）x-sinα+$\frac{1}{2}$，其中a为锐角，则：
    ①当a等于30°时，函数有最小值-$\frac{25}{16}$；
    ②当a不等于30°时，函数图象与坐标轴一定有三个交点；
    ③当a＜60°时，函数在x＞1时，y随x的增大而增大；
    ④无论锐角a怎么变化，函数图象必过定点．
    其中正确的结论有（　　）
    A．①③B．①②③C．①②④D．②③④

    分析 ①由于2sina＞0，所以函数一定有最小值，将a的值代入抛物线的解析式中，将解析式写成顶点式可得函数的最小值；
    ②令y=0，在所得方程中若根的判别式大于0，那么抛物线的图象与坐标轴的交点可能有三个；
    ③由①知，抛物线的开口向上，所以一定有最小值；首先求出抛物线的对称轴方程，若x=1在抛物线对称轴右侧，那么y随x的增大而增大；若x=1在抛物线对称轴的左侧，那么随x的增大，y值先减小后增大．
    ④图象若过定点，那么函数值就不能受到变量sina的影响，所以先将所有含sina的项求出来，然后令sina的系数为0，可据此求出x的值，将x的值代入抛物线的解析式中，即可得到这个定点的坐标．

    解答 解：①当a=30°时，sina=$\frac{1}{2}$，二次函数解析式可写作：y=x2-$\frac{5}{2}$x=（x-$\frac{5}{4}$）2-$\frac{25}{16}$；
    所以当a为30°时，函数的最小值为-$\frac{25}{16}$；故①正确；
    ②令y=0，则有：2sinax2-（4sina+$\frac{1}{2}$）x-sina+$\frac{1}{2}$=0，
    △=（4sina+$\frac{1}{2}$）2-4×2sina×（-sina+$\frac{1}{2}$）=24sin2a+$\frac{1}{4}$＞0，
    所以抛物线与x轴一定有两个交点，再加上抛物线与y轴的交点，即与坐标轴有三个交点，②正确；
    ③∵2sina＞0，且对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1+$\frac{1}{8sinα}$＞1，
    ∴x=1在抛物线对称轴的左侧，因此 x＞1时，y随x的增大先减小后增大；故③错误．
    ④y=2sinax2-（4sina+$\frac{1}{2}$）x-sina+$\frac{1}{2}$=sina（2x2-4x-1）-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$；
    当2x2-4x-1=0，即 x=1±$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，抛物线经过定点，故④正确．
    故选：C．

    点评 本题考查的是二次函数的性质和特殊角的三角函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键，注意一元二次方程的根的判断和方程的解法．

    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    18．写出一个大于3小于5的无理数$\sqrt{11}$．

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    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    3．我们知道在一元二次方程x2=-1中，由于-1＜0，因而原方程无实数根．我们定义：i2=-1，我们把i称为虚数单位，当b≠0，把a+bi（其中a，b为实数）称为虚数．虚数的乘法法则：
    $\begin{array}{l}（{a+bi}）（{c+di}）\\=a•c+a•di+bi•c+bi•di\\=ac+ad•i+bc•i+bd•{i^2}\\=ac+（{ad+bc}）i+bd•（{-1}）\\=（{ac-bd}）+（{ad+bc}）i\end{array}$
    则式子 $（{1+\sqrt{3}i}）（{1-\sqrt{3}i}）$=4．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    20．已知：△ABC是正三角形，且边长为1，点E是直线AB上的一个动点，过点E作BC的平行线交直线AC于点F，将线段EC绕点E旋转，使点C落在直线BC上的点D处；
    （1）当点E在△ABC的边AB上时，
    ①求证：AE=BD；
    ②设梯形EDCF的面积为S，当S达到最大值时，求∠ECB的正切值．
    （2）当点E不在边AB上时，由A、D、E、C四点围成的四边面积能否为$\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$？若能，求出AE长；若不能请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    7．如图，等腰梯形ABCD，AB∥CD，AB=3$\sqrt{2}$，DC=$\sqrt{2}$，对角线AC⊥BD，平行于线段BD的直线MN、RQ分别以1个单位/秒、2个单位/秒的速度同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G，当直线RQ到达点C时两直线同时停止运动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的面积为S1，被直线RQ扫过的面积为S2，若S2=mS1，则m的最小值是3．

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    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    17．如图，在?ABCD中，∠A=60°，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，有下列结论：
    ①2DF=$\sqrt{3}$AB；②DE•CF=DF•AE；③∠DFE=∠CDB；④如果?ABCD的面积是8，则△DEF的面积是3，
    其中正确结论的序号是①②③④．

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    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    4．如图，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，BC=3，将△ABC沿对角线AC折叠，点B恰好落在点P处，CP与AD交于点F，连接BP交AC于点G，交AD于点E，下列结论错误的是（　　）
    A．AC=2APB．△PBC是等边三角形
    C．S△BGC=3S△AGPD．$\frac{PG}{CG}$=$\frac{1}{3}$

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    1．如图所示，以正方形ABCO的点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中线段OA在y轴上，线段OC在x轴上，其中正方形ABCO的周长为24．
    （1）求出B、C两点坐标；
    （2）若与y轴重合的直线l以每秒1个单位长度的速度由y轴向右平移，移动到与BC所在直线重合停止，移动过程中l与AB、OC交点分别为N、M，问：运动多长时间时，长方形AOMN的周长与长方形NMCB的周长之比为5：4．
    （3）在（2）的条件下，若直线l上有一点E，连接AE、BE，恰好满足AE⊥BE，求出∠OAE+∠CBE的大小．

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    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    2．如图，在一次函数y=-x+5的图象上取点P，作PA⊥x轴，PB⊥y轴；垂足为B，且矩形OAPB的面积为6，则这样的点P个数共有4个．

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