Question

在直角坐标系中，⊙A的半径为4，A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E，F两点，与y轴交于C、D两点，过C点作⊙A的切线BC交x轴于B
（1）求直线BC的解析式；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c的顶点在直线BC上，与x轴的交点恰为⊙A与x轴的交点，求抛物线的解析式；
（3）问C点是否在所求的抛物线上？

Answer 1

分析：（1）首先连接AC，在Rt△AOC中，由⊙A的半径为4，A的坐标为（2，0）求得点C的坐标，又由△AOC∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得B点的坐标，然后又待定系数即可求得直线BC的解析式；
（2）首先求得点与F的坐标，然后设两点式y=a（x+2）（x-6），又由顶点在直线BC上，即可求得抛物线的解析式；
（3）由当x=0时，y=2

3

，可得C点在所求的抛物线y=-

3

6

x²+

2 3

3

x+2

3

上．

解答：解：（1）连接AC，
∵BC是⊙A的切线，
∴∠BCA=90°，
∵⊙A的半径为4，A的坐标为（2，0），
∴C（0，2

3

），
∵OC⊥AB，
∴△AOC∽△ACB，
∴AC²=OA•AB，
∵4²=2×AB得AB=8，
∴B（-6，0），
∴直线BC的解析式为y=

3

3

x+2

3

（4分）；

（2）∵E（-2，0）、F（6，0），
设y=a（x+2）（x-6）=a（x-2）²-16a，
由于顶点在直线BC上，
故（2，-16a）代入y=

3

3

x+2

3

，
可得a=-

3

6

，
∴求得抛物线的解析式为y=-

3

6

x²+

2 3

3

x+2

3

（5分）；

（3）当x=0时，y=2

3

，
∴C点在所求的抛物线y=-

3

6

x²+

2 3

3

x+2

3

上．（3分）

点评：此题考查了二次函数的综合应用，切线的性质，相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是要注意方程思想与数形结合思想的应用．