【题目】(提出问题)如图1,小东将一张AD为12,宽AB为4的长方形纸片按如下方式进行折叠:在纸片的一边BC上分别取点P、Q,使得BP=CQ,连结AP、DQ,将△ABP、△DCQ分别沿AP、DQ折叠得△APM,△DQN,连结MN.小东发现线段MN的位置和长度随着点P、Q的位置发生改变.
(规律探索)
(1)请在图1中过点M,N分别画ME⊥BC于点E,NF⊥BC于点F.
求证:①ME=NF;②MN∥BC.
(解决问题)
(2)如图1,若BP=3,求线段MN的长;
(3)如图2,当点P与点Q重合时,求MN的长.
【答案】(1)①证明详见解析;②证明详见解析;(2);(3).
【解析】
试题(1)①先按照要求做图,证明线段相等,通常证明所在的三角形全等,所以证明ME=NF,要证明△MEP≌△NPQ,先证明△ABP≌△DCQ,则∠APB=∠DQG,然后证明△MEP≌△NPQ(AAS)即可证得结论;②只要证出MN∥EF即可,由ME∥NF,ME=NF得出四边形EFMN是平行四边形,平行四边形的对边平行得出结论;(2)做辅助线,延长EM、FN交AD于点G、H.证明△EMP∽△MAG,根据相似三角形的对应边的比相等,以及矩形的性质即可求解;(3)设PM、PN分别交AD于点E、F,利用勾股定理求出EF长,然后证明△PEF∽△PMN,根据相似三角形的对应边成比例即可求解.
试题解析:(1)①先按照要求做图,如图1:证明线段相等,通常证明所在的三角形全等,要证明ME=NF,先证明△MEP≌△NPQ,已知条件不够,所以得证明△ABP≌△DCQ,∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=90°,AB=CD.又∵BP=CQ(已知),∴△ABP≌△DCQ(SAS),∴∠APB=∠DQG.∴∠MPE=180°﹣2∠APB=180°﹣2∠DQC=∠NQF.∴△MEP≌△NPQ(AAS),∴ME=NF;②∵ME与NF都垂直于BC,∴ME∥NF,∵△MEP≌△NPQ,∴ME=NF,∴四边形EFMN是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形),∴MN∥BC;
(2)延长EM、FN交AD于点G、H.∵AB=4,BP=3,∴AM=4,PM=3.∵AD∥BC,∴EM⊥AD.∵∠AMP=∠MEP=∠MGA,∴∠EMP=∠MAG.∴△EMP∽△MAG.∴,设AG=4a,则EM=×AG=3a,∵四边形ABEG是矩形,∴BE=4a,∵BP=3,∴EP=4a-3,又∵EP=MG=(4-ME)=(4-3a)=3-a,∴3-a=4a-3,解得:a=,∴AG=,同理DH=.∴MN=GH=12-×2=;(3)设PM、PN分别交AD于点E、F.∵AD∥BC和折叠角相等,∴∠EPA=∠APB=∠PAE,∴EA=EP.设EA=EP=x,则EM=6-x,AM=AB=4,在Rt△AME中,42+(6﹣x)2=x2,解得:x=.∴EA=EP=DF=,∴EF=12﹣2×=.∵EF∥MN(已证),∴△PEF∽△PMN.∴,即,解得:MN=.
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【题目】如图,扇形纸片AOB中,已知∠AOB=90,OA=6,取OA的中点C,过点C作DC⊥OA交于点D,点F是上一点.若将扇形BOD沿OD翻折,点B恰好与点F重合,用剪刀沿着线段BD、DF、FA依次剪下,则剩下的纸片(阴影部分)面积是______________.
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【题目】全民健身运动已成为一种时尚,为了了解我市居民健身运动的情况,某健身馆的工作人员开展了一项问卷调查,问卷包括五个项目:A:健身房运动;B:跳广场舞;C:参加暴走团;D:散布;E:不运动.
以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分.
运动形式 | A | B | C | D | E |
人数 | 12 | 30 | m | 54 | 9 |
请你根据以上信息,回答下列问题:
(1)接受问卷调查的共有 人,图表中的m= ,n= ;
(2)统计图中,A类所对应的扇形圆心角的度数为 ;
(3)根据调查结果,我市市民最喜爱的运动方式是 ,不运动的市民所占的百分比是 ;
(4)我市碧沙岗公园是附近市民喜爱的运动场所之一,每晚都有“暴走团”活动,若最邻近的某社区约有1500人,那么估计一下该社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有多少人?
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【题目】已知一次函数y=ax+b过一,二,四象限,且过(6,0),则关于二次函数y=ax2+bx+1的以下说法:①图象与x轴有两个交点;②a<0,b>0;③当x=3时函数有最小值;④若存在一个实数m,当x≤m时,y随x的增大而增大,则m≤3.其中正确的是( )
A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ②③④
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,,连结AC,过点C作直线l∥AB,点P是直线l上的一个动点,直线PA与⊙O交于另一点D,连结CD,设直线PB与直线AC交于点E.
(1)求∠BAC的度数;
(2)当点D在AB上方,且CD⊥BP时,求证:PC=AC;
(3)在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时,求出所有满足条件的∠ACD的度数;
②设⊙O的半径为6,点E到直线l的距离为3,连结BD,DE,直接写出△BDE的面积.
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【题目】已知:如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=x+b的图象交
于点A(1,4)、点B(-4,n).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△OAB的面积;
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.
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【题目】问题背景(1)如图1,△ABC中,DE∥BC分别交AB,AC于D,E两点,过点E作EF∥AB交BC于点F.请按图示数据填空:△EFC的面积__________,△ADE的面积______________.
探究发现(2)在(1)中,若BF=m,FC=n,DE与BC间的距离为.请证明.
拓展迁移(3)如图2,□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上,若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为3、7、5,试利用(2)中的结论求△ABC的面积.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t,设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标.
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