Question

13．如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，ED=4
（1）求证：△ABE∽△ADB； 
（2）求BE长．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件可以推出弧AB与弧AC相等，所以∠ABC=∠ADB，结合图形，即可推出△ABE∽△ABD，
（2）根据相似三角形的性质，就可推出AB的长度，根据勾股定理，即可求出BE的值．

解答 （1）证明：如图，连接AC，
∵点A是弧BC的中点，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠ACB=∠ADB，
∴∠ABC=∠ADB．
又∵∠BAE=∠BAE，
∴△ABE∽△ABD；

（2）解：∵AE=2，ED=4，
∴AD=AE+ED=2+4=6，
∵△ABE∽△ABD，BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵△ABE∽△ABD，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AB}{AD}$，
∴AB²=AE•AD=2×6=12，
∴AB=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ADB中，BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=4．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、锐角三角函数的定义，关键在于找到相似三角形，根据相关的定理求出有关边的长度．