如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过B点,且顶点在直线x=上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,连结BD,已知在对称轴上存在一点P,使得△PBD的周长最小.请求出点P的坐标.
(4)在(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(与点O、B不重合),过点M作MN∥BD交x轴于点N,连结PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.S是否存在最大值?若存在,求出最大值并求此时M点的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵抛物线经过B(0,4),∴, 1分 ∵顶点在直线上,∴,, ∴所求函数关系式为: 2分 (2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,∴, ∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5, ∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0). 3分 当时,, 4分 当时,, ∴点C和点D在所求抛物线上. 5分 (3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点, 6分 设直线CD对应的函数关系式为, 则,解得:, ∴, 7分 当时,,∴P(,), 8分 (4)∵MN∥BD,∴△OMN∽△OBD, ∴,,, 9分 设对称轴交x轴于点F,则, ∵,, ∴( 10分 由, ∴当时,S取得最大值为, 11分 此时点M的坐标为(0,). 12分 |
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