Question

【题目】如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．

（1）求证：AE=AF；

（2）若∠AEB=75°，求∠CPD的度数．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）105°.

【解析】

试题

（1）由已知条件证△ABE≌△ADF即可可得到AE=AF；

（2）

试题解析：

（1）∵四边形ABCD为正方形，

∴∠B=∠ADC=∠ADF=90°，AB=AD，

又∵BE=DF，

∵在△ABE和△ADF中， ，

∴△ABE≌△ADF（SAS），

∴AE=AF；

（2）连结AP，

∵△ABE≌△ADF，

∴∠BAE=∠DAF，

∵∠BAE+∠EAD=90°，

∴∠DAF+∠EAD=90°，即∠EAF=90°，

又∵AE=AF，

∴∠AEF=45°，

∵∠AEB=75°，

∴∠CEF=180°﹣45°﹣75°=60°，

∴∠EFC=180°-90°-60°=30°，

∵∠ECF=90°，P为EF中点，

∴CP=PF=EF，

∴∠EFC=∠PCF=30°，

∵P为EF中点，∠EAF=90°，

∴AP=EF，

∴AP=CP，

∵在△APD和△CPD中： ，

∴△APD≌△CPD（SSS），

∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=45°，

∴∠CPD=180°﹣∠PCD﹣∠CDP=105°．