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13.如图所示,四边形ABCD为平行四边形,在AB、AD边上各作正方形ABEF,ADGH,求证:平行四边形对角线AC与FH垂直.

分析 先根据正方形的性质及平行四边形的性质,判定△ABC≌△FAH,得出∠BAC=∠AFH,再根据∠BAC+∠FAQ=90°,得到∠AFH+∠FAQ=90°,最后得出AC⊥FH.

解答 证明:∵正方形ADGH中,AH=AD,
平行四边形ABCD中,AD=BC,
∴AH=BC
∵正方形ABEF中,AB=FA,∠BAF=90°,
正方形ADGH中,∠DAH=90°,
∴∠BAD+∠FAH=180°,
又∵平行四边形ABCD中,∠ABC+∠BAD=180°,
∴∠FAH=∠ABC,
在△ABC和△FAH中,
$\left\{\begin{array}{l}{FA=AB}\\{∠FAH=∠ABC}\\{AH=BC}\end{array}\right.$,
∴△ABC≌△FAH(SAS),
∴∠BAC=∠AFH,
又∵∠BAC+∠FAQ=90°,
∴∠AFH+∠FAQ=90°,
∴∠AGF=90°,即AC⊥FH.

点评 本题主要考查了正方形的性质以及平行四边形的性质,解决问题的关键是根据条件判定△ABC≌△FAH或△CDA≌△FAH,依据全等三角形的性质得出对应角相等.

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