Question

25、如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点P为BC边上任意一点，且
PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分别是E、F、G，请你探索PE、PF、BG的长度之间的关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：过点P作PH⊥BG，垂足为H，根据PF⊥CD，BG⊥CD得到四边形PFGH为矩形，从而得到PF=HG，然后在证得BEP=∠HBP，且BP=BP得到△BPE≌△PHB，进一步得到PE=BH从而证得结论BG=PE+PF．

解答：解：结论：BG=PE+PF，
证明如下：过点P作PH⊥BG，垂足为H，
∵PF⊥CD，BG⊥CD
∴四边形PFGH为矩形．
∴PF=HG．
∵PH∥CD，
∴∠BPH=∠C，而∠C=∠ABP，
∴∠EBP=∠HPB，
又PE⊥AB，PH⊥BG，
∴∠BEP=∠HBP，且BP=BP，
∴△BPE≌△PHB，
∴PE=BH，
∴BG=PE+PF．

点评：本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定，证明两条线段的和等于一条线段时通常采用本题的证明方式．