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    19．已知△ABC，AB=AC，∠BAC=α，在BA的延长线上任取一点D，过点D作BC的平行线交CA的延长线于点E．
    （1）当∠BAC=60°时，如图1，依题意补全图形，直接写出EC，BC，ED的数量关系；
    （2）当∠BAC=90°时，如图2，判断EC，BC，ED之间的数量关系，并加以证明；
    （3）当∠BAC=α时（0°＜α＜180°），请写出EC，BC，ED之间的数量关系并写出解题思路．

    分析 （1）构建已知条件画出图象即可；
    （2）结论：BC+ED=$\sqrt{2}$BC．只要证明四边形DECF为平行四边形，△BDF为等腰直角三角形．在Rt△BDF中，BF2=BD2+DF2，推出（BC+ED）2=2EC2．推出BC+ED=$\sqrt{2}$EC即可；
    （3）结论：BC+ED=2EC•sin$\frac{α}{2}$．由（2）可知四边形ACFD为平行四边形，△BDF为等腰三角形，过D点作DN⊥BC于N点可得BN=$\frac{1}{2}$BF，∠BDN=$\frac{1}{2}$α．在Rt△BDN中sin∠BDN=$\frac{BN}{BD}$=sin$\frac{α}{2}$，可得BC+ED=2EC•sin$\frac{α}{2}$；

    解答 解：（1）图象如图所示，

    数量关系：EC=BC+ED．

    （2）结论：BC+ED=$\sqrt{2}$BC．
    理由：过D作DF∥AC交BC延长线于F点．

    ∵DF∥AC，ED∥BC，
    ∴四边形DECF为平行四边形．
    ∴ED=CF，EC=DF．
    ∵AB=AC，
    ∴∠ABC=∠ACB．
    ∵ED∥BC，
    ∴∠DEC=∠ECB，∠EDB=∠DBC．
    ∴∠CED=∠BDE．
    ∴AE=AD．
    ∴EC=BD．
    ∴BD=DF．
    ∵DF∥AC，
    ∴∠BDF=∠BAC=90°．
    ∴△BDF为等腰直角三角形．
    在Rt△BDF中
    ∵BF2=BD2+DF2，
    ∴（BC+ED）2=2EC2．
    ∴BC+ED=$\sqrt{2}$EC．

    （3）结论：BC+ED=2EC•sin$\frac{α}{2}$．
    理由：如图，

    由（2）可知四边形ACFD为平行四边形，△BDF为等腰三角形，
    过D点作DN⊥BC于N点可得BN=$\frac{1}{2}$BF，∠BDN=$\frac{1}{2}$α．
    在Rt△BDN中sin∠BDN=$\frac{BN}{BD}$=sin$\frac{α}{2}$．
    可得BC+ED=2EC•sin$\frac{α}{2}$．

    点评 本题考查等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．

    练习册系列答案
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    9．如图，四边形纸片ABCD中，∠A=75°，∠B=65°，将纸片折叠，使C，D落在AB边上的C′，D′处，折痕为MN，则∠AMD′+∠BNC′=80°．

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    10．如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为4米，如果竹竿的顶端A沿墙下滑1米，竹竿底端B外移的距离BD（　　）
    A．等于1米B．大于1米C．小于1米D．以上都不对

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    7．在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的动点（与点A，C不重合），连接BE．
    （1）将射线BE绕点B顺时针旋转45°，交直线AC于点F．
    ①依题意补全图1；
    ②小研通过观察、实验，发现线段AE，FC，EF存在以下数量关系：
    AE与FC的平方和等于EF的平方．小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：
    想法1：将线段BF绕点B逆时针旋转90°，得到线段BM，要证AE，FC，EF的关系，只需证AE，AM，EM的关系．
    想法2：将△ABE沿BE翻折，得到△NBE，要证AE，FC，EF的关系，只需证EN，FN，EF的关系．
    …
    请你参考上面的想法，用等式表示线段AE，FC，EF的数量关系并证明；（一种方法即可）
    （2）如图2，若将直线BE绕点B顺时针旋转135°，交直线AC于点F．小研完成作图后，发现直线AC上存在三条线段（不添加辅助线）满足：其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    14．解不等式组：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x-3}{2}＜1}\\{2（x+1）≥x-1}\end{array}\right.$．

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    4．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制出如下两幅统计图．请根据相关信息，解答下列问题：

    （1）扇形统计图中a=15，初赛成绩为1.70m所在扇形图形的圆心角为72°；
    （2）补全条形统计图；
    （3）这组初赛成绩的众数是1.60 m，中位数是1.60m；
    （4）根据这组初赛成绩确定8人进入复赛，那么初赛成绩为1.60m的运动员杨强能否进入复赛？为什么？

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    11．解决问题时需要思考：是否解决过与其类似的问题．小明从问题1解题思路中获得启发从而解决了问题2．
    问题1：如图①，在正方形ABCD中，E、F是BC、CD上两点，∠EAF=45°．

    求证：∠AEF=∠AEB．
    小明给出的思路为：延长EB到H，满足BH=DF，连接AH．请完善小明的证明过程．
    问题2：如图②，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D为AB中点，E、F是AC、BC边上两点，∠EDF=45°．
    （1）求点D到EF的距离．
    （2）若AE=a，则S△DEF=$\frac{{a}^{2}-4a+8}{a}$（用含字母a的代数式表示）．

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    13．如图，A、B、C是⊙O上的三点，若∠C=30°，OA=3，则弧AB的长为π．（结果保留π）

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    14．已知，平行四边形ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动．
    （1）如图①，运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD=CP，求∠ABC的度数．
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