Question

如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是BC的中点，∠EDF=∠B，点E、F分别在AB、AC上．
（1）证明△BED∽△CDF；
（2）设BE=x，CF=y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）连EF，△DEF能否成为等腰三角形？如果可能，求出相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）由平角的定义得到∠EDB+∠FDC=180°-∠EDF，利用三角形的内角和定理得到∠DEB+∠EDB=180°-∠B，再由∠EDF=∠B，利用等量代换得到一对角相等，再由AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，利用两对应角相等的两三角形相似可得证；
（2）由（1）得到的三角形相似，利用相似得比例，将各自的值代入列出y关于x的函数关系式，并求出x的范围即可；
（3）△DEF能成为等腰三角形，理由为：当BE=CF时，利用SAS可得出三角形BED和三角形CFD全等，由全等三角形的对应边相等可得出DE=DF，即三角形DEF为等腰三角形，此时y=x，代入由（2）得出的函数解析式，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值．

解答：解：（1）证明：∵∠EDB+∠FDC=180°-∠EDF，∠DEB+∠EDB=180°-∠B，且∠EDF=∠B，
∴∠FDC=∠DEB，
又AB=AC，∴∠B=∠C，
∴△BED∽△CDF；
（2）∵△BED∽△CDF，
∴

BE

CD

=

ED

DF

=

BD

CF

，
∵AB=AC=5，BC=6，点D是BC的中点，
∴BD=CD=3，又BE=x，CF=y，
∴

x

3

=

3

y

，
则y=

9

x

（0＜x＜5）；
（3）△DEF能成为等腰三角形，理由为：
若BE=CF，
在△BED和△CFD中，

BE=CF ∠B=∠C BD=CD

，
∴△BED≌△CFD（SAS），
∴DE=DF，即△DEF能成为等腰三角形，
此时y=x，即

9

x

=x，
解得：x=3或x=-3（舍去），
则当x=3时，△DEF为等腰三角形．

点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，利用了转化及等量代换的思想，其中相似三角形的判定方法有：两对对应角相等的两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似．