Question

如图，已知点A（-4，8）和点B（2，n）在抛物线y=ax²上．
（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；
（2）平移抛物线y=ax²，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（-2，0）和点D（-4，0）是x轴上的两个定点．
①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；
②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把（-4，8）代入y=ax²可求得a的值，把x=2代入所求的抛物线解析式，可得n的值，那么P的坐标为2，纵坐标为-n，求得AP与x轴的交点即为Q的坐标；
（2）A′C+CB′最短，说明抛物线向左平移了线段CQ的距离，用顶点式设出相应的函数解析式，把新顶点坐标代入即可；
（3）左右平移时，使A′D+DB′′最短即可，那么作出点A′关于x轴对称点的坐标为A′′，得到直线A′′B′′的解析式，让y=0，求得相应的点的坐标；进而得到抛物线顶点平移的规律，用顶点式设出相应的函数解析式，把新顶点坐标代入即可．

解答：
解：（1）将点A（-4，8）的坐标代入y=ax²，
解得a=

1

2

；
将点B（2，n）的坐标代入y=

1

2

x²，
求得点B的坐标为（2，2），
则点B关于x轴对称点P的坐标为（2，-2），
设直线AP的解析式为y=kx+b，

-4k+b=8 2k+b=-2

，
解得：

k=- 5 3 b= 4 3

，
∴直线AP的解析式是y=-

5

3

x+

4

3

，
令y=0，得x=

4

5

．
即所求点Q的坐标是（

4

5

，0）；

（2）①CQ=|-2-

4

5

|=

14

5

，（1分）
故将抛物线y=

1

2

x²向左平移

14

5

个单位时，A′C+CB′最短，

此时抛物线的函数解析式为y=

1

2

（x+

14

5

）²；
②左右平移抛物线y=

1

2

x²，因为线段A′B′和CD的长是定值，
所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短；（1分）

第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′＞AD+CB，
因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短；
第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，
则点A′和点B′的坐标分别为A′（-4-b，8）和B′（2-b，2）．
因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′（-b，2），
要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短，
点A′关于x轴对称点的坐标为A′′（-4-b，-8），
直线A′′B′′的解析式为y=

5

2

x+

5

2

b+2．
要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，
将点D（-4，0）代入直线A′′B′′的解析式，解得b=

16

5

．
故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，
此时抛物线的函数解析式为y=

1

2

（x+

16

5

）²．

点评：用到的知识点为：两点关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数；抛物线平移，不改变二次项的系数，看顶点是如何平移的即可；涉及距离之和最小问题，应从作其中一点关于直线的对称点入手思考．