Question

⊙O₁，⊙O₂，⊙O₃两两外切，切点为A，B，C，它们的半径分别为r₁，r₂，r₃．
（1）若△O₁O₂O₃是直角三角形，r₂：r₃=2：3，用r₂表示r₁；
（2）若△O₁O₂O₃与以A、B、C为顶点的三角形相似，则r₁，r₂，r₃必须满足什么条件？请给出证明．此时若r₁，r₂，r₃的和为3cm，用如图这样一张四边形纸片DEFG，能否剪出一个圆形纸片来完全盖住两两外切的⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃这3个圆？如果认为不能，请说明理由；如果认为能，给出这样的圆形纸片的一种剪法（在四边形纸片DEFG上面图表示）

Answer 1

解：
（1）圆心距分别为r₁+r₂，r₁+r₃，r₂+r₃，r₂：r₃=2：3，有r₃=1.5r₂，r₁＞r₃时，
（r₁+r₂）²=（r₁+r₃）²+（r₂+r₃）²，
解得r₁=-7.5r₂（不合题意，舍去），
r₁≤r₃时，（r₁+r₃）²=（r₁+r₂）²+（r₂+r₃）²，
解得r₁=5r₂；

（2）r₁=r₂=r₃时，△O₁O₂O₃与以A、B、C为顶点的三角形相似，能否剪出一个圆形纸片来完全盖住两两外切的⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃这3个圆．
分析：（1）因为△O₁O₂O₃是直角三角形，根据⊙O₁，⊙O₂，⊙O₃两两外切，得出三边的长度，结合斜边的情况，利用勾股定理用r₂表示r₁；
（2）r₁=r₂=r₃时，△O₁O₂O₃与以A、B、C为顶点的三角形相似．
点评：本题考查了三圆两两外切的函数问题，同时考查了勾股定理，及三角函数的知识．