Question

14．数学课上，老师按下面的方法作线段AB的黄金分割点C（如图），
①过点B作BD⊥AB，使BD=$\frac{1}{2}$AB；
②连结AD，在DA上截取DE=DB；
③在AB上截取AC=AE．
根据上述作图解答下列问题：
（1）如果AB=1，那么AC与BC分别等于多少？
（2）说明点C是线段AB的黄金分割点的理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意和勾股定理求出AC与BC的长；
（2）根据黄金分割的比值进行判断即可．

解答 解：（1）∵AB=1，
∴BD=$\frac{1}{2}$，
∴AD=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴AE=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
BC=AB-AC=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；
（2）∵$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴点C是线段AB的黄金分割点．

点评 本题考查的是黄金分割的概念和勾股定理的应用，掌握把一条线段分成两部分，使其中较长的线段作为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$叫做黄金比是解题的关键．