Question

10．如图一，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=4cm，E是BC上一点，将△CDE沿DE折叠，使点C落在AB上一点F处，连结DF、EF．
（1）求BE的长度；
（2）设点P、H、G分别在线段DE、BC、BA上，当BP=CP且四边形BGPH为矩形时，请说明矩形BGPH的长宽比为2：1，并求PE的长．（如图二）

Answer 1

分析 （1）先根据矩形性质以及折叠变换，运用勾股定理求得AF、BF的长，再设BE=x，在Rt△BEF中运用勾股定理列出方程，求得x的值．
（2）先判断PH垂直平分BC，求得矩形中BH的长，再根据平行线分线段成比例定理，求得PH的长，进而得出矩形BGPH的长宽比为2：1，最后根据勾股定理求得PE的长．

解答 解：（1）如图一，在矩形ABCD中，AD=BC=4，CD=AB=5，∠A=90°，
由折叠可得：DF=DC=5，CE=CF，
∴直角三角形ADF中，AF=$\sqrt{D{F}^{2}-A{D}^{2}}$=3，
∴BF=5=3=2，
设BE=x，则CE=FE=4-x，
在Rt△BEF中，2²+x²=（4-x）²，
解得x=1.5，
即BE=1.5；

（2）如图二，当BP=CP，且四边形BGPH为矩形时，点P在BC的垂直平分线上，
即PH垂直平分BC，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=2，①
又∵BE=1.5，
∴EH=0.5，EC=2.5
∵PH∥DC，
∴$\frac{PH}{DC}$=$\frac{EH}{EC}$，即$\frac{PH}{5}$=$\frac{0.5}{2.5}$
解得PH=1，②
∴由①②得：矩形BGPH的长宽比为2：1，
在Rt△PEH中，PE=$\sqrt{P{H}^{2}+E{H}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+0．{5}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题以折叠问题为背景，主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用，折叠属于轴对称变换，折叠前后图形的对应边和对应角相等，这是解题的关键所在．解题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质，用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案，这是解题的一般思路．