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在矩形ABCD中,AD=2,2<AB<4,现将一个直径MN为2的量角器如图摆放,使其0°线的端点N与C重合,M与B重合,O为MN的中点,量角器的半圆弧与矩形ABCD的对角线AC、BD分别交于P、Q,设P、Q在量角器上的度数分别是x、y.
(1)求y与x之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围);
(2)将量角器绕C点逆时针旋转,使它的直径落在AC上,如图所示,O′为M′精英家教网C的中点,此时量角器的半圆弧交DC于K,若K点的度数为z,那么z与y的数量关系是什么,请说明理由;
(3)在(2)问图中,若M′B∥KO,求出此时AB的长.
分析:(1)由圆O和矩形ABCD是轴对称图形,得
PC
=
BQ
=x°,因此
CQ
=180°-
BQ
,问题得解;
(2)连接O′K,∠KPC=180°-2∠PCK,∠PCK=90°-∠PCB,∠PCB=
1
2
∠POB=
1
2
(180°-x),由此问题得解;
(3)连接M′B、M′K、OK,证得四边形M′BOK为平行四边形,M′K=OB=1,再由△M′KC∽△ADC,求得CD,问题得证.
解答:解:(1)在⊙O中,
PC
=
BQ
=x°,
CQ
=180°-
BQ

即y=180°-x.

(2)z与y的数量关系是z=y.
理由:连接O′K,
由(1)知∠POB=∠COQ,
∴∠PCB=
1
2
∠POB=
1
2
(180°-x),
在矩形ABCD中,∠DCB=90°,
∴∠PCK=90°-∠ACB=
1
2
x,
又∵O′K=O′C,
∴∠PKC=∠PCK,
∴∠KPC=180°-2∠PCK=180°-x.
CK
 = 
CQ
,z=y.精英家教网

(3)如图
连接M′B、M′K、OK,
在⊙O′中,CM′为直径,
∴∠M′KC=90°,∠DCB=90°,
∴M′K∥BC,又M′B∥KO,
∴四边形M′BOK为平行四边形,
∴M′K=OB=1,
KC=
CM′2-  M′K2
=
3

∵M′K∥AD,
∴△M′KC∽△ADC,
KC
CD
=
M′K
AD
,即
3
CD
=
1
2
,CD=2
3

因此AB=CD=2
3
点评:本题主要运用圆心角、圆周角及它们之间的关系,平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质来解决问题.
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