Question

如图，D是△ABC中AB边的中点，△BCE和△ACF都是等边三角形， M、N分别是CE、CF的中点.

【小题1】求证：△DMN是等边三角形；
【小题2】连接EF，Q是EF中点，CP⊥EF于点P. 求证：DP＝DQ.
同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：
小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.

Answer 1

【小题1】取AC的中点G，连接NG、DG.

∴DG＝BC，DG∥BC；△NGC是等边三角形.  
∴NG = NC，DG =" CM."
∵∠1 + ∠2 = 180º，
∴∠NGD + ∠2 = 240º.
∵∠2 + ∠3 = 240º，
∴∠NGD =∠3.
∴△NGD≌△NCM .
∴ND =" NM" ，∠GND =∠CNM. 
∴∠DNM ="∠GNC" = 60º.
∴△DMN是等边三角形. 
【小题1】连接QN、PM.

∴QN =CE=" PM."
Rt△CPE中，PM =EM，∴∠4=" ∠5."
∵MN∥EF，∴∠5= ∠6，∠7= ∠8.
∵NQ∥CE，∴∠7= ∠4.
∴∠6= ∠8.
∴∠QND=" ∠PMD."
∴△QND≌△PMD.
∴DQ= DP. 

解析【小题1】先证出NG = NC，DG = CM，再证出△NGD≌△NCM，得出△DMN是等边三角形；
【小题1】根据题意得出QN =CE= PM，然后证明△QND≌△PMD，从而得出DQ= DP.