Question

10．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F，若点D的坐标为（6，8）
（1）B点的坐标为（10，0）；
（2）求反比例函数的解析式及点F的坐标；
（3）设直线l过点C且分别交直线OD、OB于不同的P、Q两点．
①若直线l⊥OC，如图所示，请直接写出$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{OQ}$的值；
②若l为满足条件的任意直线，请探究$\frac{1}{OP}$与$\frac{1}{OQ}$的数量关系，并说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质结合点B的坐标即可得出OB=OD=10，从而得出点B的坐标；
（2）根据点B、D的坐标结合菱形的性质即可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数解析式，根据菱形的性质结合点O、B、D即可找出顶点C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，联立直线BC与反比例函数的解析式成方程组，解方程组即可求出点F的坐标；
（3）①由PQ⊥OC，BD⊥OC，可得出PQ∥BD，进而得出△OAD∽△OCP，△OAB∽△OCQ，根据相似三角形的性质即可求出OP、OQ的长，代入分式中即可得出结论；②同①可得出OP=2OM，OQ=2ON，再利用△ADE≌△ABN以及△MDE∽△MON即可得出BN=$\frac{5DM}{5+DM}$，进而可得出分式$\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}$=$\frac{1}{5}$，由此即可得出$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{OQ}$=$\frac{1}{10}$．

解答 解：（1）∵四边形OBCD为菱形，点D的坐标为（6，8），OB在x轴正半轴上，
∴OB=OD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴B（10，0）．
故答案为：（10，0）．
（2）∵B（10，0），D（6，8），四边形OBCD为菱形，
∴A（8，4），
∵点A在反比例函数图象上，
∴k=8×4=32，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{32}{x}$．
∵O（0，0），B（10，0），D（6，8），
∴C（16，8）．
设直线BC的解析式为y=ax+b，
将点B（10，0）、C（16，8）代入y=ax+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{10a+b=0}\\{16a+b=8}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{40}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{40}{3}$．
联立直线BC与反比例函数解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x-\frac{40}{3}}\\{y=\frac{32}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=12}\\{y=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-16}\end{array}\right.$（舍去），
∴点F的坐标为（12，$\frac{8}{3}$）．
（3）①$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{OQ}$=$\frac{1}{10}$，理由如下：
∵PQ⊥OC，BD⊥OC，
∴PQ∥BD，
∴△OAD∽△OCP，△OAB∽△OCQ，
∴$\frac{OD}{OP}=\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{OB}{OQ}=\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∵OB=OD=10，
∴OP=OQ=20，
∴$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{OQ}$=$\frac{1}{10}$．
②$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{OQ}$=$\frac{1}{10}$，理由如下：
过点A作MN∥PQ，分别交OP、OQ于点M、N，令CD与MN的交点为点E，如图所示．
∵PQ∥MN，
∴△OAM∽△OCP，△OAN∽△OCQ，
∴$\frac{OM}{OP}=\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{ON}{OQ}=\frac{OA}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴OP=2OM，OQ=2ON．
在△ADE和△ABN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠BAN}\\{AD=AB}\\{∠ADE=∠ABN}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ABN（ASA），
∴BN=DE．
∵DE∥ON，
∴△MDE∽△MON，
∴$\frac{DE}{ON}=\frac{BN}{ON}=\frac{DM}{OM}$，即$\frac{BN}{DM}=\frac{ON}{OM}=\frac{10-BN}{10+DM}$，
∴BN=$\frac{5DM}{5+DM}$．
∴$\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}$=$\frac{1}{10+DM}+\frac{1}{10-\frac{5DM}{5+DM}}$=$\frac{1}{10+DM}+\frac{5+DM}{50+5DM}$=$\frac{10+DM}{50+5DM}$=$\frac{1}{5}$．
∵OP=2OM，OQ=2ON，
∴$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{OQ}$=$\frac{1}{10}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）求出OB=OD=10；（2）求出直线BC以及反比例函数解析式；（3）①找出OP=OQ=20；②求出$\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}$=$\frac{1}{5}$．本题属于中档题，（3）难度稍大，在解决该问时，利用相似三角形的性质找出边与边之间的关系是关键．