Question

绕圆周填写了十二个正整数，其中每个数取自{1，2，3，4，5，6，7，8，9}之中（每一个数都可以多次出现在圆周上），若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是7的倍数，用S表示圆周上所有十二个数的和，那么数S所有可能的取值情况有

9

种．

Answer 1

分析：根据绕圆周填写了十二个正整数，任何三个相邻位置上的数之和都是7的倍数，且数字可以在{1，2，3，4，5，6，7，8，9}之中（每一个数都可以多次出现在圆周上），从而可求解．

解答：解：对于圆周上相邻的三个数{a_k，a_k+1，a_k+2}，a_k+a_k+1+a_k+2可以是7，或14，或21，例如，当三数和为7时，{a_k，a_k+1，a_k+2}可以取{1，2，4}或{1，1，5}或{2，2，3}；又对于圆周上任意相邻的四数，若顺次为a_k，a_k+1，a_k+2，a_k+3，由于a_k+a_k+1+a_k+2和a_k+1+a_k+2+a_k+3都是7的倍数，那么必有7|a_k+3-a_k，于是a_k与a_k+3或者相等，或者相差7；
又在圆周上，1与8可互换，2与9可互换；现将圆周分成四段，每段三个数的和皆可以是7，或14，或21，因此四段的总和可以取到{28，35，42，49，56，63，70，77，84}中的任一个值，总共九种情况．
（其中的一种填法是：先在圆周上顺次填出十二个数：1，2，4，1，2，4，1，2，4，1，2，4，其和为28，然后每次将一个1改成8，或者将一个2改成9，每一次操作都使得总和增加7，而这样的操作可以进行八次）．

点评：本题考查数的整除性问题，根据任何三个相邻位置上的数之和都是7的倍数，可找出12个数的规律，从而求解．