分析:首先利用换元法,设a+b+c=u,ab+bc+ca=v,解出u和v的值,也就得到了a+b+c和ab+bc+ca的值,再利用完全平方公式求出a2+b2+c2的值,从而确定a的范围,最后根据a、b、c是正整数逐一筛选,得到答案.
解答:解:设a+b+c=u,ab+bc+ca=v
∴
,
解得:
,
∴u
2=225,2v=108,
∴u
2-2v=117
∵(a+b+c)
2=u
2∴a
2+b
2+c
2+2(ab+bc+ca)=225
a
2+b
2+c
2=117
∴a不能超过10
又∵a、b、c是正整数
∴10≥a>b>c>0,
经筛选只有a=10,b=4,c=1,满足条件.
点评:此题主要考查了数学中的换元法求整体式子的解的应用,并且也考查了完全平方公式的应用,在确定字母范围后要逐一讨论,寻找符合条件的答案,题目较难,综合性较强.