Question

使得函数值为0的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x-1，令y=0可得x=1，我们说1是函数y=x-1的零点．已知函数y=x²-2mx-2（m+3）（m为常数）
（1）当m=0时，求该函数的零点．
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点．

Answer 1

（1）解：当m=0时，令y=0，则x²-6=0，
解得x=±，
所以，m=0时，该函数的零点为±；

（2）证明：令y=0，则x²-2mx-2（m+3）=0，
△=b²-4ac=（-2m）²-4×1×2（m+3），
=4m²+8m+24，
=4（m+1）²+20，
∵无论m为何值时，4（m+1）²≥0，
∴△=4（m+1）²+20＞0，
∴关于x的方程总有不相等的两个实数根，
即，无论m取何值，该函数总有两个零点．
分析：（1）根据函数的零点的定义，当m=0时，令y=0，解关于x的一元二次方程即可得解；
（2）令y=0，然后利用根的判别式列式，然后整理成完全平方式，根据非负数的性质判断出△＞0，从而确定出有两个函数零点．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，主要利用了抛物线与x轴的交点的求解方法，根的判别式的应用，读懂题目信息，理解函数零点的定义是解题的关键．