Question

3．如图，直线l：y=x-$\sqrt{3}$与x轴正半轴、y轴负半轴分别相交于A、C两点，抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+bx+c经过点B（-1，0）和点C．
（1）填空：直接写出抛物线的解析式：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$；
（2）已知点Q是抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+bx+c在第四象限内的一个动点．
①如图，连接AQ、CQ，设点Q的横坐标为t，△AQC的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
②连接BQ交AC于点D，连接BC，以BD为直径作⊙I，分别交BC、AB于点E、F，连接EF，求线段EF的最小值，并直接写出此时Q点的坐标．

Answer 1

分析 解：（1）先利用一次函数解析式确定A（$\sqrt{3}$，0），C（0，-$\sqrt{3}$），然后把A点和C点坐标代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+bx+c得b、c的方程组，再解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$；
（2）①作QM∥y轴交直线AC于M，如图①，设Q（t，$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t-$\sqrt{3}$），则M（t，t-$\sqrt{3}$），则用t表示MQ得到MQ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，再利用三角形面积公式和二次函数的性质求解；
②连接OE、OF，作OH⊥EF于H，如图②，利用垂径定理得到EH=FH，再利用三角函数的定义求出∠OBC=60°，∠OAC=60°，AC=2OA=2，则△ABC为等边三角形，关键圆周角定理得到∠EIF=2∠EBF=120°，则∠IEH=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$IE，所以EF=2EH=$\sqrt{3}$IE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD，于是可判定当BD⊥AC时，即BD为等边△ABC的高时，BD的值最小，EF最小，由于此时BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=$\sqrt{3}$，所以线段EF的最小值为$\frac{3}{2}$，接下来求出直线BQ的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，然后通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$得此时Q点的坐标．

解答 解：（1）当y=0时，x-$\sqrt{3}$=0，解得x=$\sqrt{3}$，则A（$\sqrt{3}$，0），
当x=0时，y=x-$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$，则C（0，-$\sqrt{3}$），
把B（-1，0），C（0，-$\sqrt{3}$）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{3}-b+c=0}\\{c=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{c=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$；
故答案为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$；

（2）①作QM∥y轴交直线AC于M，如图①，
设Q（t，$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t-$\sqrt{3}$），则M（t，t-$\sqrt{3}$），
∴MQ=t-$\sqrt{3}$-（$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t-$\sqrt{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，
∴S=S_△CMQ-S_△AMQ=$\frac{1}{2}$•MQ•1=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$t²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$t=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（t-1）²+$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
当t=1时，S有最大值$\frac{\sqrt{3}}{6}$；

②连接OE、OF，作OH⊥EF于H，如图②，则EH=FH，
在Rt△OBC中，∵tan∠OBC=$\frac{OC}{OB}$=$\sqrt{3}$，
∴∠OBC=60°，
同理可得∠OAC=60°，AC=2OA=2，
∴△ABC为等边三角形，
∵∠EIF=2∠EBF，
∴∠EIF=120°，
∴∠IEH=30°，
在Rt△IEH中，∵cos∠IEH=$\frac{EH}{IE}$，
∴EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$IE，
∴EF=2EH=$\sqrt{3}$IE，
而IE=$\frac{1}{2}$BD
∴EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD，
当BD的值最小时，EF的值最小，
而当BD⊥AC时，即BD为等边△ABC的高时，BD的值最小，
此时BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∴线段EF的最小值为$\frac{3}{2}$，
∵∠QBA=30°，
∴直线BQ与y轴的交点为（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
易得直线BQ的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴此时Q点的坐标为（2，-$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、垂径定理和圆周角定理；会利用待定系数法求函数解析式；灵活应用三角函数解直角三角形．（2）中的第二个小题的关键是找到EF与BD的关系，从而利用垂线段最短解决问题．