Question

4．已知二次函数y=a（x-1）（x-3）（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（A左B右），与y轴交于C点（0，3）．P为x轴下方二次函数y=a（x-1）（x-3）（a＞0）图象上一点，P点横坐标为m．
（1）求a的值；
（2）若P为二次函数y=a（x-1）（x-3）（a＞0）图象的顶点，求证：∠ACO=∠PCB；
（3）Q（m+n，y₀）为二次函数y=a（x-1）（x-3）（a＞0）图象上一点，且∠ACO=∠QCB，求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把C（0，3）代入y=a（x-1）（x-3）即可求出a解决问题；
（2）如图1中，连接AC、PC、BC、PB．首先利用勾股定理等逆定理证明△PBC是直角三角形，由tan∠PCB=$\frac{BP}{BC}=\frac{{\sqrt{2}}}{{3\sqrt{2}}}=\frac{1}{3}$，tann∠ACO=$\frac{OA}{OC}=\frac{1}{3}$，推出tan∠PCB=tan∠ACO，即可解决问题；
（3）分两种情形求解即可（ⅰ）如图2中，当点Q在BC左侧的抛物线上时．（ⅱ）如图3中，当点Q在BC右侧的抛物线上时，延长CQ交x轴于点E，过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F．分别构建方程即可解决问题．

解答 解：（1）把C（0，3）代入y=a（x-1）（x-3）得到3a=3，
∴a=1，
∴a的值为1；

（2）如图1中，连接AC、PC、BC、PB．

∵a=1
∴抛物线的解析式为：y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3=（x-2）²-1
∴P（2，-1）
∵B（3，0），C（0，3）
∴CP=$2\sqrt{5}$，BP=$\sqrt{2}$，CB=$3\sqrt{2}$
∴BP²+BC²=20，$C{P^2}={（2\sqrt{5}）^2}=20$
∴BP²+BC²=CP²
∴∠CBP=90°
∴tan∠PCB=$\frac{BP}{BC}=\frac{{\sqrt{2}}}{{3\sqrt{2}}}=\frac{1}{3}$
∵tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}=\frac{1}{3}$
∴tan∠PCB=tan∠ACO
∴∠ACO=∠PCB；

（3）（ⅰ）如图2中，当点Q在BC左侧的抛物线上时，

由（2）可知Q（2，-1）
∴m+n=2
∵P为x轴下方二次函数y=x²-4x+3图象上一点，
∴1＜m＜3
∴1＜2-n＜3
∴-1＜n＜1；

（ⅱ）如图3中，当点Q在BC右侧的抛物线上时，延长CQ交x轴于点E，过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F．

∵∠ACO=∠QCB
∴tan∠ACO=tan∠QCB
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{EF}{CF}$
设EF长为x
∴$\frac{1}{3}=\frac{x}{{x+3\sqrt{2}}}$
解得：$x=\frac{3}{2}\sqrt{2}$
∴BE=3
∴E（6，0）
∴CE的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x+3\\ y={x^2}-4x+3\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=\frac{7}{2}\\{y_1}=\frac{5}{4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=0\\{y_2}=3\end{array}\right.$
∴Q$（\frac{7}{2}，\frac{5}{4}）$，
∴m+n=$\frac{7}{2}$
∵1＜m＜3
∴1＜$\frac{7}{2}$-n＜3
∴$\frac{1}{2}＜n＜\frac{5}{2}$
综上所述：n的取值范围是-1＜n＜1或$\frac{1}{2}＜n＜\frac{5}{2}$即-1＜n＜$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、锐角三角函数、勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．