Question

填空：
（1）方程（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）=24的根为

 

．
（2）方程x³-3x+2=0的根为

 

．
（3）方程x⁴+2x³-18x²-10x+25=0的根为

 

．
（4）方程（x²+3x-4）²+（2x²-7x+6）²=（3x²-4x+2）²的根为

 

．

Answer 1

分析：（1）把（x+2）（x+3）和（x+1）（x+4）分别结合在一起，得到x²+5x+6和x²+5x+4，设y=x²+5x+4把方程降次，求出y的值，然后再求出x的值．（2）把方程化为（x³-1）-3（x-1）=0，利用立方差公式和提公因式分解因式，求出方程的根．（3）把方程用因式分解得到（x+5）（x-1）（x²-2x-5）=0，然后求出方程的根．（4）分析方程的结构，发现（x²+3x-4）+（2x²-7x+6）=3x²-4x+2，所以有（x²+3x-4）²+（2x²-7x+6）²=[（x²+3x-4）+（2x²-7x+6）]²，得到（x²+3x-4）（2x²-7x+6）=0，然后得到两个一元二次方程，求出方程有四个根．

解答：解：（1）原方程化为：（x²+5x+4）（x²+5x+6）-24=0
设y=x²+5x+4，得到：y²+2y-24=0
（y+6）（y-4）=0
∴y₁=-6，y₂=4．
当y₁=-6时：x²+5x+4=-6，
即：x²+5x+10=0
△=25-40＜0，方程无解．
当y₂=4时：x²+5x+4=4．
x（x+5）=0，
∴x₁=0，x₂=-5．
（2）原方程化为：（x³-1）-3（x-1）=0
（x-1）（x²+x+1）-3（x-1）=0
（x-1）（x²+x-2）=0
（x-1）（x+2）（x-1）=0
∴x₁=x₂=1，x₃=-2．
（3）x⁴+2x³-18x²-10x+25=0
因式分解得：
（x+5）（x-1）（x²-2x-5）=0
∴x₁=-5，x₂=1，
当x²-2x-5=0时，得：x₃=1+

6

，x₄=1-

6

．
∴方程的解为：x₁=-5，x₂=1，x₃=1+

6

，x₄=1-

6

．
（4）（x²+3x-4）²+（2x²-7x+6）²=（3x²-4x+2）²=[（x²+3x-4）+（2x²-7x+6）]²
=（x²+3x-4）²+（2x²-7x+6）²+2（x²+3x-4）（2x²-7x+6）
∴2（x²+3x-4）（2x²-7x+6）=0
当x²+3x-4=0
（x+4）（x-1）=0
∴x₁=-4，x₂=1．
当2x²-7x+6=0
（2x-3）（x-2）=0
∴x₃=

3

2

，x₄=2．
∴方程的解为：x₁=-4，x₂=1，x₃=

3

2

，x₄=2．
故答案是：（1）x₁=0，x₂=-5．（2）x₁=x₂=1，x₃=-2．（3）x₁=-5，x₂=1，x₃=1+

6

，x₄=1-

6

．（4）x₁=-4，x₂=1，x₃=

3

2

，x₄=2．

点评：本题考查的是高次方程，（1）用换元法把方程降次，先求出y的值，然后再求出x的值．（2）用分组分解法因式分解求出方程的根．（3）先把方程分解求出x₁和x₂，然后再把剩下的项解一元二次方程求出方程的另外两个根．（4）分析方程的结构特点，得到两个一元二次方程，分别用因式分解法求出方程的根．