Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝OA

（1）求抛物线解析式；

（2）过直线AC上方的抛物线上一点M作y轴的平行线，与直线AC交于点N．已知M点的横坐标为m，试用含m的式子表示MN的长及△ACM的面积S，并求当MN的长最大时S的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）MN＝﹣m2﹣3m；S＝﹣m2﹣m；当m＝﹣时，MN最大，此时S＝.

【解析】

（1）先求出点C坐标，再运用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线AC的解析式，用m表示点M，N的坐标，即可表示线段MN的长度；根据S△ACM＝S△AMN+S△CMN即可用m表示S△ACM；运用二次函数分析MN最值即可；

解：（1）由A（﹣3，0），且OC＝OA可得C（0，3）

设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），

将C（0，3）代入解析式得，﹣3a＝3，解得a＝﹣1，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）如图，

设直线AC解析式为y＝kx+d

∵A（﹣3，0），C（0，3），

∴，

解得 ，

∴直线AC解析式为y＝x+3，

设M（m，﹣m2﹣2m+3），则N（m，m+3），则MN＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m（﹣3＜m＜0），

S△ACM＝S△AMN+S△CMN＝MN×3＝﹣m2﹣m，

MN＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，

∵a＝﹣1＜0，﹣3＜m＝﹣1.5＜0，

∴m＝﹣时，MN最大，此时S＝．