Question

如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y.

(1)求出y与x之间的函数关系式；

(2)正方形EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）y=2x²-2ax+a²    (2) 有.当点E是AB的中点时，面积最大.

【解析】本题考查了二次函数的应用.

（1）先由AAS证明△AEF≌△DHE，得出AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，再根据勾股定理，求出EF²，即可得到S与x之间的函数关系式；

（2）先将（1）中求得的函数关系式运用配方法写成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解．

解：∵四边形ABCD是边长为a米的正方形，

∴∠A=∠D=90°，AD= a米．

∵四边形EFGH为正方形，

∴∠FEH=90°，EF=EH．

在△AEF与△DHE中，

∵∠A=∠D，∠AEF=∠DHE=90°-∠DEH，EF=EH

∴△AEF≌△DHE（AAS），

∴AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，

∴y=EF²=AE²+AF²=x²+（a-x）²=2x²-2ax+ a²，

即y=2x²-2ax+ a²；

（2）∵y=2x²-2ax+ a²=2（x-）²+，

∴当x=时，S有最大值．

故当点E是AB的中点时，面积最大．