Question

15．如图，AB是⊙O的直径，AD、BC、CD分别与⊙O相切于A、B、E，则：
（1）若AD=4，BC=9，则CD=13，AB=12；
（2）证明：△COD是直角三角形；
（3）若DO=6cm，CO=8cm，求CD的长及⊙O的半径：

Answer 1

分析 （1）由切线长定理可知AD=DE，BC=EC，从而得到DC=AD+BC，过点D作DF⊥BC，垂足为F，依据勾股定理在△DFC中求解即可；
（2）连接OE，先证明△ADO≌△EDO，从而得到∠DOE=$\frac{1}{2}∠AOE$，同理：∠EOC=$\frac{1}{2}$∠EOB，故可证明∠DOC=90°；
（3）连接OE．利用勾股定理可求得DC的长，然后利用面积法可求得OE=4.8．

解答 解：（1）如图所示；过点D作DF⊥BC，垂足为F．

∵AD、BC、CD分别与⊙O相切于A、B、E，
∴DA=DE，CB=CE．
∴DC=ED+EC=AD+BC=4+9=13．
∵FC=BC-BF=BC-AD
∴FC=9-4=5．
AB=DF=$\sqrt{D{C}^{2}-F{C}^{2}}$=12．
故答案为：13；12．
（2）连接OE．

∵在△ADO和△EDO中$\left\{\begin{array}{l}{AD=ED}\\{AO=OE}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△EDO．
∴∠AOD=∠EOD．
∴∠DOE=$\frac{1}{2}∠AOE$．
同理：∠EOC=$\frac{1}{2}$∠EOB．
∴∠DOC=$\frac{1}{2}（∠AOE+∠EOB）$=$\frac{1}{2}×180°$=90°．
∴△DOC为直角三角形．
（3）如图3所示：连接OE．

由（2）可知△DOC为直角三角形．
由勾股定理可知：DC=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=10．
∵$\frac{1}{2}DC•OE=\frac{1}{2}OD•OC$，
∴OE=$\frac{OD•OC}{DC}$=$\frac{6×8}{10}$=4.8．

点评 本题主要考查的是切线长定理、切线的性质、勾股定理、全等三角形的性质和判定，利用面积法求得OE的长是解题的关键．