练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

    如图甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分别为B、P、D，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．

    （1）证明：AB•CD=PB•PD．
    （2）如图乙，也是一个“三垂图”，上述结论成立吗？请说明理由．
    （3）已知抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点（0，-3），顶点为P，如图丙所示，若Q是抛物线上异于A、B、P的点，使得∠QAP=90°，求Q点坐标．

    （1）证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
    ∴∠B=∠D=90°，
    ∴∠A+∠APB=90°，
    ∵AP⊥PC，
    ∴∠APB+∠CPD=90°，
    ∴∠A=∠CPD，
    ∴△ABP∽△PCD，
    ∴=，
    ∴AB•CD=PB•PD；

    （2）AB•CD=PB•PD仍然成立．
    理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
    ∴∠B=∠CDP=90°，
    ∴∠A+∠APB=90°，
    ∵AP⊥PC，
    ∴∠APB+∠CPD=90°，
    ∴∠A=∠CPD，
    ∴△ABP∽△PCD，
    ∴=，
    ∴AB•CD=PB•PD；

    （3）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
    ∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点（0，-3），
    ∴，
    解得，
    所以，y=x2-2x-3，
    ∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
    ∴顶点P的坐标为（1，-4），
    过点P作PC⊥x轴于C，设AQ与y轴相交于D，
    则AO=1，AC=1+1=2，PC=4，
    根据（2）的结论，AO•AC=OD•PC，
    ∴1×2=OD•4，
    解得OD=，
    ∴点D的坐标为（0，），
    设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），
    则，
    解得，
    所以，y=x+，
    联立，
    解得，（为点A坐标，舍去），
    所以，点Q的坐标为（，）．
    分析：（1）根据同角的余角相等求出∠A=∠CPD，然后求出△ABP和△PCD相似，再根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证；
    （2）与（1）的证明思路相同；
    （3）利用待定系数法求出二次函数解析式，根据抛物线解析式求出点P的坐标，再过点P作PC⊥x轴于C，设AQ与y轴相交于D，然后求出PC、AC的长，再根据（2）的结论求出OD的长，从而得到点D的坐标，利用待定系数法求出直线AD的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点Q的坐标．
    点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，综合题，但难度不大，根据同角的余角相等求出两个角相等得到两三角形相似是解题的关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•乐山模拟）如图甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分别为B、P、D，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．

    （1）证明：AB•CD=PB•PD．
    （2）如图乙，也是一个“三垂图”，上述结论成立吗？请说明理由．
    （3）已知抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点（0，-3），顶点为P，如图丙所示，若Q是抛物线上异于A、B、P的点，使得∠QAP=90°，求Q点坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角△ADE，解答下列各题：
    （1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
    （i）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段BD，CE之间的位置关系为
    BD⊥CE，且BD=CE．
    BD⊥CE，且BD=CE．

    （ii）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，i）中的结论是否还成立？为什么？

    （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．
    试探究：当△ABC满足一个什么条件时，BC⊥CE（点D不与点C，B重合）？试画出相应图形，写出你的探究结果（不用证明）．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2013年四川省乐山市市中区中考数学模拟试卷（解析版） 题型：解答题

    如图甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分别为B、P、D，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．

    （1）证明：AB•CD=PB•PD．
    （2）如图乙，也是一个“三垂图”，上述结论成立吗？请说明理由．
    （3）已知抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点（0，-3），顶点为P，如图丙所示，若Q是抛物线上异于A、B、P的点，使得∠QAP=90°，求Q点坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    已知：在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角△ADE，解答下列各题：
    （1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
    （i）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段BD，CE之间的位置关系为______
    （ii）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，i）中的结论是否还成立？为什么？

    （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．
    试探究：当△ABC满足一个什么条件时，BC⊥CE（点D不与点C，B重合）？试画出相应图形，写出你的探究结果（不用证明）．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案