如图①, 已知抛物线(a≠0)与轴交于点A(1,0)和点B (-3,0),与y轴交于点C.
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 点D的坐标为(-2,0).问:直线AC上是否存在点F,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
(3) 如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求△BCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.
(1) (2) 存在符合条件的点P, 其坐标为P (-1, 2 )或P(-,)或P(-,)(3) 最大值为 ,点E 坐标为 (-,)
【解析】解: (1)由题知: 解得:
∴ 所求抛物线解析式为: ……3分
(2) 存在符合条件的点P, 其坐标为P (-1, 2 )或P(-,)
或P(-,)……3分
(3)过点E 作EF⊥x 轴于点F , 设E ( a ,--2a+3 )( -3< a < 0 )
∴EF=--2a+3,BF=a+3,OF=-a
∴S四边形BOCE = BF·EF + (OC +EF)·OF
=( a+3 )·(--2a+3) + (--2a+6)·(-a)
==-+
∴ 当a =-时,S四边形BOCE 最大, 且最大值为 .……3分
∴S四边形BOCE-S△ABC =-6=
∴点E 坐标为 (-,)……1分
(1)由抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)点A(1,0)和点B (-3,0),由待定系数法就可以直接求出a、b的值而求出抛物线的解析式.
(2)由(1)的解析式就可以求出C点的坐标,求出OC的值,在Rt△CON中由勾股定理就可以求出CN的值,CP1=NP1时,
作P1H⊥CN于H,由三角形相似就可以求出P1N的值,从而求出P1的坐标;
(3)设出点E的坐标,连接BE、CE,作EG⊥OB于点G,就可以表示EG、BG、OG的值就可以表示出四边形BOCE的面积,然后化为顶点式就可以求出其面积的最大值.
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