Question

7．小明在做数学练习时，遇到下面的题目：
题目：如图1，在△ABC中，D为AC边上一点，AB=AC，∠DBA=∠A，BD=BC．若CD=2，△BDC的周长为14，求AB的长．
参考答案：AB=8．
小明的计算结果与参考答案不同，因此他对参考答案产生了质疑．下面是他的分析、探究过程，请你补充完整．
第一步，读题，并标记题目条件如下：
在△ABC中，D为AC边上一点，①AB=AC；②∠DBA=∠A；③BD=BC；④CD=2；
⑤△BDC的周长为14．
第二步，依据条件③、④、⑤，可以求得BD=BC=6；
第三步，作出△BCD，如图2所示；
第四步，依据条件①，在图2中作出△ABC；（尺规作图，保留作图痕迹）
第五步，对所作图形进行观察、测量，发现与标记的条件②不符（填序号），去掉这个条件，题目中其他部分保持不变，求得AB的长为18．

Answer 1

分析 第一步，根据题意即可解决问题．
第二步、根据三角形周长的定义，可知BD=BC=$\frac{1}{2}$（14-2），由此即可解决．
第四步、作线段BC的垂直平分线交CD的延长线于A，连接AB，△ABC就是所求的三角形．
第五步、由△ABC∽△BDC得$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BC}{DC}$，由此即可解决问题．

解答 解：第一步，由题意可知：①AB=AC，②∠DBA=∠A，③BD=BC，④CD=2，⑤△BDC周长为14．
故答案分别为AB=AC，∠DBA=∠A，BD=BC，CD=2，△BDC周长为14．
第二步，∵BD=BC，CD=2，△BDC周长为14，
∴BD=BC=$\frac{1}{2}$（14-2）=6．
故答案为6．
第三步，作线段BC的垂直平分线交CD的延长线于A，连接AB，△ABC就是所求的三角形．

第五步，通过测量发现∠DBA≠∠A，所以②不符合．
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC，
∴∠C=∠ABC=∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BC}{DC}$，
∴$\frac{AB}{6}$=$\frac{6}{2}$，
∴AB=18，
故答案分别为②，18．

点评 本题考查作图、等腰三角形的性质、线段垂直平分线性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会利用相似三角形性质解决求线段长度问题，属于中考常考题型．