如图,已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,抛物线y=﹣x2+bx+c(c>0)的顶点为D,与y轴的交点为C,过点C作CA∥x轴交抛物线于点A,在AC延长线上取点B,使BC=AC,连接OA,OB,BD和AD.
(1)若点A的坐标是(﹣4,4)
①求b,c的值;
②试判断四边形AOBD的形状,并说明理由;
(2)是否存在这样的点A,使得四边形AOBD是矩形?若存在,请直接写出一个符合条件的点A的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)
①∵AC∥x轴,A点坐标为(﹣4,4).∴点C的坐标是(0,4)
把A、C代入y═﹣x2+bx+c得, 得,解得;
②四边形AOBD是平行四边形;理由如下:
由①得抛物线的解析式为y═﹣x2﹣4x+4,∴顶点D的坐标为(﹣2,8),
过D点作DE⊥AB于点E,则DE=OC=4,AE=2,
∵AC=4,∴BC=AC=2,∴AE=BC.∵AC∥x轴,∴∠AED=∠BCO=90°,
∴△AED≌△BCO,∴AD=BO.∠DAE=∠BCO,∴AD∥BO,
∴四边形AOBD是平行四边形.
(2)存在,点A的坐标可以是(﹣2,2)或(2,2)
要使四边形AOBD是矩形;则需∠AOB=∠BCO=90°,
∵∠ABO=∠OBC,∴△ABO∽△OBC,∴=,
又∵AB=AC+BC=3BC,∴OB=BC,
∴在Rt△OBC中,根据勾股定理可得:OC=BC,AC=OC,
∵C点是抛物线与y轴交点,∴OC=c,
∴A点坐标为(c,c),∴顶点横坐标=c,b=c,
∵将A点代入可得c=﹣+c•c+c,
∴横坐标为±c,纵坐标为c即可,令c=2,
∴A点坐标可以为(2,2)或者(﹣2,2).
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下列命题中是真命题的是( )
A.如果,那么
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.旋转前后的两个图形,对应点所连线段相等
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
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某篮球队12名队员的年龄如下表所示:
年龄(岁) | 18 | 19 | 20 | 21 |
人数 | 5 | 4 | 1 | 2 |
则这12名队员年龄的众数和平均数分别是
A.18,19 B.19,19 C.18, D.19,
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小方与同学一起去郊游,看到一棵大树斜靠在一小土坡上,他想知道树有多长,于是他借来测角仪和卷尺.如图,他在点C处测得树AB顶端A的仰角为30°,沿着CB方向向大树行进10米到达点D,测得树AB顶端A的仰角为45°,又测得树AB倾斜角∠1=75°.
(1)(5分)求AD的长. (2)(4分)求树长AB.
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