试题分析:(1)将两个解析式联立组成方程组,解方程组即得
要想△ABP的面积最大,则要在要求的抛物线上找到一个点P,使点P到直线AB的距离最大,这时过点P且与AB平行的直线与抛物线只有一个交点,利用根的判别式可确定平移后所得直线的解析式,进而可得点的坐标,求出面积
设圆心为E,连接EQ,直线与x轴交点为H,与y轴交点为F;由已知可得直线与两坐标轴交点的坐标,从而可得直线与坐标轴交点到原点的距离;由圆的切线及相似的知识可得出EQ、QH的长,
再由勾股定理可得要求的值
试题解析:(1)A(-1,0) ,B(2,3)
(2)平移直线AB得到直线L,当L与抛物线只有一个交点时,△ABP面积最大[如图12-1(1)]

设直线L解析式为:

,
根据

,得

判别式△

,解得,

代入原方程中,得

;解得,

,

∴P(

,

)
易求,AB交

轴于M(0,1),直线L交轴

于G(0,

)
过M作MN⊥直线L于N,∵OM=1,OA=1,∴∠AMO=45°
∵∠AMN=90,∴∠NMO=45°
在RT△MNE中,∠NMO=45°,MG=

,[如图12-1(2)]
∴ MN=

,MN即为△ABP的高
由两点间距离公式,求得:AB=

故△ABP最大面积
(3)设在直线

上存在唯一一点Q使得∠OQC=90°
则点Q为以OC的中点E为圆心,OC为直径形成的圆E与直线

相切时的切点,[如图12-2(1)]

由解析式可知:C(

,0),OC=

,则圆E的半径:OE=CE=

=QE
设直线

与

、

轴交于H点和F点,则F(0,1),∴OF=1 则H(

,0), ∴OH =
∴ EH=

∵AB为切线 ∴EQ⊥AB,∠EQH=90°
在△FOH和△EQH中
∴△FOH∽△EQH
∴

∴ 1:

=

:QH,∴QH =
在RT△EQH中,EH=

,QH =

,QE =

,根据勾股定理得,

+

=

求得
