【问题】如图甲，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=

3

，PC=1，求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
【探究】解题思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图乙所示，连接PP′．
（1）△P′PB是三角形，△PP′A是三角形，∠BPC=°；
（2）利用△BPC可以求出△ABC的边长为．
【拓展应用】
如图丙，在正方形ABCD内有一点P，且PA=

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，BP=

2

，PC=1；
（3）求∠BPC度数的大小；
（4）求正方形ABCD的边长．

第一步，在一张矩形的纸片的一端，设MN=2，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，然后把纸片展平．
第三步，如图3，折出内侧矩形的对角线AB，并把它折到图3中所示的AD处．则AD=，CD=．
第四步，展平纸片，按照所得的D点折出DE，矩形BCDE就是艺术大师们所说的黄金矩形．则黄金矩形的宽与长之比（结果可用根号表示）．
第五步，如图5，作NP⊥BD于P，交BC于F，则CF=．

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，过点C作CD⊥AB于点D，小明把一个三角板的直角顶点放置在点D处两条直角边分别交线段BC于点E，交线段AC于点F，在三角板绕着点D旋转的过程中他发现了线段BE，CE，CF，AF之间存在着某种数量关系．

（1）旋转过程中，若点E是BC的中点，点F也是AC的中点吗？请说明理由；
（2）旋转过程中，若DE⊥BC，那么

BE

CE

=

CF

AF

成立吗？请说明理由；
（3）旋转过程中，若点E是BC上任意一点，（2）中的结论还成立吗？

已知，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，∠CAB=30°，∠DAE=60°，AD=3，AB=6

3

，且AB，AD在同一直线上，把图1中的△ADE沿射线AB平移，记平移中的△ADE为△A′DE（如图2），且当点D与点B重合时停止运动，设平移的距离为x．
（1）当顶点E恰好移动到边AC上时，求此时对应的x值；
（2）在平移过程中，设△A′DE与Rt△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式以及相应的自变量x的取值范围；
（3）过点C作CF∥AE交AB的延长线于点F，点M为直线BC上一动点，连接FM，得到△MCF，将△MCF绕点C逆时针旋转60°，得到△M′CF′（M的对应点为M′，F的对应点为F′），问△FMM′的面积能否等于

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？若能，请求AM′的长度，若不能，请说明理由．

如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，且AD=1，AB=BC=2，对角线AC和BD相交于点O．点E在AB上，点F在CB延长线上，连结EF，且BE=BF．
（1）连结AF，CE，则线段AF与CE的位置关系是，数量关系是；
（2）将图1中的△EBF绕点B逆时针方向旋转旋转α角（0°＜α＜90°），连结AF、CE．试在图2中画出旋转后的图形，并判断此时（1）中的两个结论是否成立，写出你的猜想并加以证明；
（3）将图1中的△EBF绕点B逆时针旋转，使到一边BF落在线段BO上，此时△EBF的一边EF与BC交于点M，连结AF、CE．试在图3中画出旋转后的图形，并解答下列问题：
①此时（1）中的两个结论是否成立？（直接写出你的猜想，不必证明．）
②已知OF=

5

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，试求BM的长．

如图，A、B是直线a上的两个定点，点C、D在直线b上运动（点C在点D的左侧），AB=CD=6cm，已知a∥b，连接AC、BD、BC，把△ABC沿BC折叠得△A₁BC．
问题1：当A₁、D两点重合时，则AC=cm；
问题2：当A₁、D两点不重合时，连接A₁D，可探究发现A₁D∥BC，
下面是小明的思考：
（1）将△ABC沿BC翻折，点A关于直线BC的对称点为A₁，连接AA₁交BC所在直线于点M，由轴对称的性质，得AM=A₁ M，这一关系在变化过程中保持不变；
（2）因为四边形ABCD是平行四边形，设对角线的交点是O，易知AO=DO，这一关系在变化过程中也保持不变．
请你借助于小明的思考，说明AD₁∥BC的理由；
问题3：当A₁、D两点不重合时，若直线a、b间的距离为

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cm，且以点A₁、C、B、D为顶点的四边形是矩形，求AC的长．

观察与发现：
（1）小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．你认为△AEF是什么形状的三角形？为什么？

实践与运用：
如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕EF（如图①）；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′、GH（如图⑥）．
（2）在图②中连接BB′，判断△BCB′的形状，请说明理由；
（3）图⑥中的△GCC′是等边三角形吗？请说明理由．

已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，OC=

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，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB（或它们的反向延长线）相交于点D，E．
（1）当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），求证：OD+OE=2．
（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时：
①在图2这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
②在图3这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并给予证明．

阅读下面的材料：
小明在研究中心对称问题时发现：
如图1，当点A₁为旋转中心时，点P绕着点A₁旋转180°得到P₁点，点P₁再绕着点A₁旋转180°得到P₂点，这时点P与点P₂重合．
如图2，当点A₁、A₂为旋转中心时，点P绕着点A₁旋转180°得到P₁点，点P₁绕着点A₂旋转180°得到P₂点，点P₂绕着点A₁旋转180°得到P₃点，点P₃绕着点A₂旋转180°得到P₄点，小明发现P、P₄两点关于点P₂中心对称．

（1）请在图2中画出点P₃、P₄，小明在证明P、P₄两点关于点P₂中心对称时，除了说明P、P₂、P₄三点共线之外，还需证明；
（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，当A₁（0，3）、A₂（-2，0）、A₂（2，0）为旋转中心时，点P（0，4）绕着点A₁旋转180°得到P₁点；点P₁绕着点A₂旋转180°得到P₂点；点P₂绕着点A₃旋转180°得到P₃点；点P₃绕着点A₁旋转180°得到点p₄点…．继续如此操作若干次得到点P₅、P₆、…，则点P₂的坐标为，点_P2017的坐标为．

如图①，将一张直角三角形纸片ABC折叠，使A与C重合，这时DE为折底，△CBE为等腰三角形，再将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到一个折叠而成的无缝隙、无重叠的矩形，这个矩形称为“折得矩形”．
（1）如图②，正方形网格中的△ABC能折成“折得矩形”吗？，若能，请在图②中画出折痕；
（2）如图③，正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜△ABC，使其顶点A在格点上，且由△ABC折成的“折得矩形”为正方形；
（3）如果一个三角形折成的“折得矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是．
（4）若一个四边形能折成“折得矩形”，那么它必须满足的条件是．