已知：在△ABC中，∠CAB=，且，AP平分∠CAB．
【小题1】如图1，若，∠ABC=32°，且AP交BC于点P，试探究线段
AB，AC与PB之间的数量关系，并对你的结论加以证明；
答：线段AB，AC与PB之间的数量关系为：___________________________．

【小题2】如图2，若∠ABC=，点P在△ABC的内部，且使∠CBP=30°，
求∠APC的度数（用含的代数式表示）

某中学为创建绿色和谐校园，拟在一块三角形花圃里从点A修建一条花间小路到边BC. （不要求尺规作图）

【小题1】若要使修建的小路路程最短，请在图(a)中画出小路AD.
所根据的数学原理是____­­______________________________；
【小题2】若要在小路两边种植两种不同的花草，且使它们的种植面积相等，请在图(b)中画出小路AE.

已知：如图，在中，是边上的高，是平分线.，。
【小题1】求的度数；
【小题2】求的度数．

△ABC的三边满足，请判别△ABC的形状。

如图，已知：等边三角形的边长为6，点、分别在边、上，且. 点从点开始以每秒1个单位长的速度沿射线方向运动，设点运动的时间为秒. 当时，直线与过点且平行于的直线相交于点，的延长线与的延长线相交于点，与相交于点
【小题1】用的代数式表示；
【小题2】设△的面积为，写出与的函数关系式；
【小题3】当为何值时，点和点是线段的三等分点？

现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
【小题1】如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是     
【小题2】如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是               
【小题3】如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2′和∠A的数量关系，并说明理由．
【小题4】将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是                      .

在△ABC中，AD是高，AE是角平分线.，∠B=20°，∠C=60，求∠CAD和∠DAE的度数.

如图，在△ABC中，AD是中线，分别过B、C作AD及AD延长线的垂线BE、CF，垂足分别为E、F．求证：BE=CF．

如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A₁BC₁

【小题1】线段A₁C₁的长度是　  　，∠CBA₁的度数是　  　．
【小题2】连接CC₁，求证：四边形CBA₁C₁是平行四边形．

小明学了勾股定理后很高兴，兴冲冲的回家告诉了爸爸：在△ABC 中，若∠C=90°, BC =" a" , AC =" b" , AB=c，如下图，根据勾股定理，则 。爸爸笑眯眯地听完后说：很好，你又掌握了一样知识，现在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理还成不成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并选择其中一种情况给予证明。〔下图备用）