作图题：两个大小不同的圆可以组成以下五种图形，如图所示，请画出任两个图形的对称轴，并说一说对称轴有什么共同特点。

如图，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图(1)的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题：

这三个图案都具有以下共同特征：都是   ▲   对称图形,面积都是  ▲  ；
⑵ 请在图(2)中设计出2个具备上述特征而且不是轴对称图形的图案，要求所画图案不能
与图(1)中给出的图案相同．

如图,在平面直角坐标系中,有一直角△ABC,且A(0,5),B(-5,2),C(0,2),并已知△AA₁C₁是由△ABC经过旋转变换得到的.

(1)问由△ABC旋转得到的△AA₁C₁的旋转角的度数是多少?并写出旋转中心的坐标;
(2)请你画出仍以(1)中的旋转中心为旋转中心,将△AA₁C₁、△ABC分别按顺时针、逆时针各旋转90°的两个三角形,并写出变换后与A₁相对应点A₂的坐标;
(3)利用变换前后所形成图案证明勾股定理(设△ABC两直角边为、,斜边为).

在∠MON的两边上分别找两点P、Q，使得AP+PQ+QB最小。（保留作图痕迹，不要求作法）

如图①，将一张直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，△CBE为等腰三角形，再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样的两个矩形为“叠加矩形”．请完成下列问题：

【小题1】如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如能，请在图②中画出折痕；
【小题2】如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜△ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形；
【小题3】如果一个三角形所折成的“叠加矩形” 为正方形，那么它必须满足的条件是  ．

△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，直线l经过点（-1，0），并且与y轴平行．

【小题1】①将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°得到△A₁B₁C₁，在图中画出△A₁B₁C₁；
②求出由点C运动到点C₁所经过的路径的长．
【小题2】①△A₂B₂C₂与△ABC关于直线l对称，画出△A₂B₂C₂，并写出△A₂B₂C₂三个顶点的
坐标；②观察△ABC与△A₂B₂C₂对应点坐标之间的关系，写出直角坐标系中任意一点P（a，b）
关于直线l的对称点的坐标：__________．

如图1， E是等腰Rt△ABC边AC上的一个动点(点E与A、C不重合)，以CE为一边在Rt△ABC作等腰Rt△CDE，连结AD， BE．我们探究下列图中线段AD，、线段BE 的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的等腰Rt△CDE绕着点C按顺时针方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中等腰直角三角形改为直角三角形（如图4—6），且AC=a，BC=b，CD=ka， CE="kb" (ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结BD、AE，且a=4，b=3，k=，求BD²+AE²的值．

在图形的全等变换中，有旋转变换，翻折（轴对称）变换和平移变换．一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．

（1）第一小组的同学发现，在如图1－1的矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，Rt△ADC可以由Rt△ABC经过一种变换得到，请你写出这种变换的过程 ▲ ．
（2）第二小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF（如图2－1）；再沿GC折叠，使点B落在EF上的点B'处（如图2－2），这样能得到∠B'GC的大小，你知道∠B'GC的大小是多少吗？请写出求解过程．

（3）第三小组的同学，在一个矩形纸片上按照图3－1的方式剪下△ABC，其中BA＝BC，将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换，每次均移动AC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI，如图3－2．已知AH＝AI，判断以AD、AF和AH为三边能否构成三角形？若能构成，请判断这个三角形的形状，若不能构成，请说明理由．

（4）探究活动结束后，老师给大家留下了一道探究题:如图4－1，已知AA'＝BB'＝CC'＝4，∠AOB'＝∠BOC'＝∠COA'＝60°，请利用图形变换探究S_△AOB'＋S_△BOC'＋S_△COA'与的大小关系．

七年级我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：
如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．

如图，点的坐标分别为，将绕点按逆时针方向旋转得到．
【小题1】画出旋转后的，并写出点的坐标；
【小题2】求在旋转过程中，点所经过的路径的长度．（结果保留）