（8分）已知：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．

【小题1】（1）求证：与的面积相等；
【小题2】（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？
【小题3】（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在中，，BD平分，试说明：AB² = AD·AC

某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动.
活动情境：
如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点 F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P．
所得结论：
当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：
甲：△AEF的边AE=     cm，EF=    cm；
乙：△FDM的周长为16 cm；
丙：EG=BF.
你的任务：
【小题1】填充甲同学所得结果中的数据；
【小题2】 写出在乙同学所得结果的求解过程；
【小题3】当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时：
① 试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；
② 丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？

如图，方格纸上的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC就是一个格点三角形．
【小题1】在△ABC中，BC=   ▲   ，tanB=   ▲   ；
【小题2】请在方格中画出一个格点三角形DEF，使
△DEF∽△ABC，并且△DEF与△ABC的相似比为2． 

如图，D,E分别是△ABC的AB,AC边上的点，且DE∥BC,已知AD︰DB=1︰3, DE=2cm,
【小题1】求BC的长.
【小题2】 若△ADE的面积为1.5cm²，求梯形DBCE的面积.

如图所示，已知抛物线y=x²-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点c．

【小题1】(1)求A、B、C三点的坐标．
【小题2】(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
【小题3】 (3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由。

如图，在4×4的正方形网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
【小题1】(1)填空：∠ABC=__________°，BC=__________；
【小题2】(2)判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论．

如图，AB•AC=AD•AE，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△AED．

（本题满分7分）和是绕点旋转的两个相似三角形，其中与、与为对应角．

【小题1】（1）如图1，若和分别是以与为顶角的等腰直角三角形，且两三角形旋转到使点、、在同一条直线上的位置时，请直接写出线段与线段的关系；
【小题2】（2）若和为含有角的直角三角形，且两个三角形旋转到如图2的位置时，试确定线段与线段的关系，并说明理由；
【小题3】（3）若和为如图3的两个三角形，且=，，在绕点旋转的过程中，直线与夹角的度数是否改变？若不改变，直接用含、的式子表示夹角的度数；若改变，请说明理由．

（本题6分）已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F，连结DC、AE．

【小题1】（1）求证：△ADE≌△DFC；
【小题2】（2）过点E作EH∥DC交DB于点G，交BC于点H，连结AH．求∠AHE的度数；
【小题3】（3）若BG=，CH=2，求BC的长．