如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F．

【小题1】求证：ΔABE∽ΔDFA；
【小题2】若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长

已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=4，BE="5" 求证：DE⊥AB

已知：如图，在中，D是AC上一点，联结BD，且∠ABD =∠ACB.

【小题1】求证：△ABD∽△ACB；
【小题2】若AD=5，AB= 7，求AC的长.

如图（10）所示：等边△中，线段为其内角平分线，过点的直线于交的延长线于.

【小题1】请你探究：，是否成立?
【小题2】请你继续探究：若△为任意三角形，线段为其内角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断.
【小题3】

如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在
AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．

（Ⅰ）求证：直线BF是⊙O的切线；
（Ⅱ）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．

如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），点C（0，6），，BC∥OA，OB=10，点E从点B出发，以每秒1个单位长度沿BC向点C运动，点F从点O出发，以每秒2个单位长度沿OB向点B运动，现点E、F同时出发，连接EF并延长交OA于点D，当F点到达B点时，E、F两点同时停止运动。设运动时间为t秒
【小题1】当四边形OCED是矩形时，求t的值；
【小题2】当△BEF的面积最大时，求t的值；
【小题3】当以BE为直径的圆经过点F时，求t的值；
【小题4】当动点E、F会同时在某个反比例函数的图像上时，求t的值．（直接写出答案）

如图，在△ABC中，cm，cm，cm，动线段DE（端点D从点B开始）沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当端点E到达C时运动停止，过点E作EF∥AC交AB于点F（当点E与点C重合时，EF与CA重合），连接DF，设运动的时间为秒（）

（1）直接写出用含的代数式表示线段BE、EF的长;
（2）在这个动动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出的值;若不能，请说明理由;
（3）设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积。

操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计：

纸片利用率=×100%
发现：（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．
你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．
（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．
请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．
探究：（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．

已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．

（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求的值；
（2）如图2，当OA=OB，=时，求△BPC与△ACO的面积之比．

如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，AB∥OC，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0），OB＝OC．点P从C点出发，沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OB，垂足为H.

（1）求点B的坐标；
（2）设△HBP的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；当t为何值时，△HBP的面积最大，并求出最大面积；
（3）分别以P、H为圆心，PC、HB为半径作⊙P和⊙H，当两圆外切时，求此时t的值.