如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t．

求：（1）C点的坐标为          ；
（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？
（3）①求△HCR面积S与t的函数关系式；
②并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的值．

在平面直角坐标系xOy中，点的坐标是，过点作直线垂直轴，点是直线上异于点的一点，且.过点作直线的垂线，点在直线上，且在直线的下方，.设点的坐标为.

（1）判断△的形状，并加以证明；
（2）直接写出与的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）延长交（2）中所求函数的图象于点.求证：.

如图1，在△ABC中，AB＝AC，. 过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
     
（1）求证：；
（2）点为线段延长线上一点，将射线GC绕着点G逆时针旋转，与射线BD交于点E．
①若，，如图2所示，求证：；
②若，，请直接写出的值（用含的代数式表示）．

操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点（不包括射线的端点）.如图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况.
研究：

⑴三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合如图2加以证明.
⑵三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长；若不能，请说明理由.
⑶若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM∶MB＝1∶3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合如图4加以证明.

为了测量路灯（OS）的高度,把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子（BC）长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了3.2米（BB^‘）,再把竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长（B^‘C^‘）为1.8米,求路灯离地面的高度.

如图，在□ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE．F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．

⑴试说明：△ABF∽△EAD；
⑵若AB＝8，BE＝6，AD＝7，求BF的长．

在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在边BC上.若BC=8cm，AD=6cm，且PN=2PQ，求矩形PQMN的周长.

如图，在的正方形网格中，△OAB的顶点分别为O（0，0），A（1，2），B（2，-1）．

⑴以点O（0，0）为位似中心，按比例尺（OA︰OA’）1:3在位似中心的同侧将△OAB放大为△OA’B’，放大后点A、B的对应点分别为A’、B’ ．画出△OA’B’，并写出点A’、B’的坐标：A’（           ），B’（           ）．
⑵在⑴中，若为线段上任一点，写出变化后点的对应点的坐标（          ）．

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P、Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连接PQ，设运动时间为t（t >0）秒．

（1）求线段AC的长度；
（2）当点Q从点B向点A运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：
①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；
②当l经过点B时，求t的值．

为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了3.2米（BB^‘），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B^‘C^‘）为1.8米，求路灯离地面的高度.