科目： 来源：第27章《二次函数》中考题集（49）：27.3 实践与探索（解析版） 题型：解答题

如图1，四边形ABCD是边长为5的正方形，以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．抛物线y=ax²经过A，O，D三点，图2和图3是把一些这样的小正方形及其内部的抛物线部分经过平移和对称变换得到的．
（1）求a的值；
（2）求图2中矩形EFGH的面积；
（3）求图3中正方形PQRS的面积．

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如图，过原点的直线l₁：y=3x，l₂：y=x．点P从原点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动．直线PQ交y轴正半轴于点Q，且分别交l₁、l₂于点A、B．设点P的运动时间为t秒时，直线PQ的解析式为y=-x+t．△AOB的面积为S_l（如图①）．以AB为对角线作正方形ACBD，其面积为S₂（如图②）．连接PD并延长，交l₁于点E，交l₂于点F．设△PEA的面积为S₃；（如图③）

（1）S_l关于t的函数解析式为______；（2）直线OC的函数解析式为______；
（3）S₂关于t的函数解析式为______；（4）S₃关于t的函数解析式为______．

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如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=4，BC=，CD=9．
（1）在BC边上找一点O，过O点作OP⊥BC交AD于P，且OP²=AB•DC．求BO的长；
（2）以BC所在直线为x轴，OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求经过A、O、D三点的抛物线的解析式，并画出引抛物线的草图；
（3）在（2）中的抛物线上，连接AO、DO，证明：△AOD为直角三角形；过P点任作一直线与抛物线相交于A′（x₁，y₁），D′（x₂，y₂）两点，连接A′O、B′O，试问：△A′O′D′还为直角三角形吗？请说明理由．

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如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别做匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
（1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式．
（2）试在（1）中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标．
（3）设从出发起，运动了t秒．如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围．
（4）设从出发起，运动了t秒．当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由．

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课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．
初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：
（1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图1）．
若∠ACB=90°，设AC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米²，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图2）．
若∠ABC=120°，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小；
（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．

科目： 来源：第27章《二次函数》中考题集（50）：27.3 实践与探索（解析版） 题型：解答题

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已知一个二次函数的图象经过如图所示的三个点．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）平行于x轴的直线l的解析式为y=，抛物线与x轴交于A、B两点，在抛物线的对称轴上找点P，使BP的长等于直线l与x轴间的距离．求点P的坐标．

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如图，Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上．令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图2），直到C点与N点重合为止．设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为ycm²．求y与x之间的函数关系式．

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如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为xcm，CQ的长为ycm．
（1）点P在BC上运动的过程中y的最大值为______cm；
（2）当y=cm时，求x的值为______

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为了参加市科技节展览，同学们制造了一个截面为抛物线形的隧道模型，用了三种正方形的钢筋支架．在画设计图时，如果在直角坐标系中，抛物线的函数解析式为y=-x²+c，正方形ABCD的边长和正方形EFGH的边长之比为5：1，求：
（1）抛物线解析式中常数c的值；
（2）正方形MNPQ的边长．